10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math HSC 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ (Integration) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোজিত ফল নির্ণয়, অংশায়নের সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোজিত ফল নির্ণয়, অংশায়নের সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোজিত ফল নির্ণয় যোগজীকরণ সূত্র অনুযায়ী

Determining the Combined Results of Trigonometric Functions

ধরন-৯ (Type – 9):

(a) \int \sin ^{n} x d x, \int \cos ^{n} x d x যেখানে, n∈N

প্রতিস্থাপন: (i) n বিজোড় হলে, \int \sin ^{n} x d x এর জন্য \cos x=z এবং \int \cos ^{n} x d x এর জন্য sinx = z ধরতে হয়।

(ii) n জোড় হলে, \sin ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x) এবং \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x) সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১২: \int \sin ^{5} x d x  নির্ণয় কর।

Example – 12: Determine \int \sin ^{5} x d x

সমাধান (Solution):

\int \sin ^{5} x d x=\int \sin ^{4} x \sin x d x=\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} \sin x d x

 

মনে করি, cosx=z \therefore-\sin x d x=d z \Rightarrow \sin x d x=-d z

\therefore \int \sin ^{5} x d x=\int\left(1-z^{2}\right)^{2}(-d z)

 

=-\int\left(1-2 z^{2}+z^{4}\right) d z

=-\left(z+2 \cdot \frac{z^{3}}{3}+\frac{z^{5}}{5}\right)+c

=-\cos x+\frac{2}{3} \cos ^{3} x-\frac{1}{5} \cos ^{5} x+c (Ans)

 

(b) \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x

প্রতিস্থাপন: (i) m, n∈N এবং উভয়ে বিজোড় হলে, m>n এর জন্য sinx= z এবং n>m এর জন্য cosx= z ধরতে হয়। m বিজোড় ও n জোড় হলে, cosx= z; n বিজোড় ও m জোড় হলে, sinx= z ধরতে হয়।

(ii) m, n∈N এবং উভয়ে জোড় হলে, \sin ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x) এবং \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x) সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

(iii) m ও n উভয়ে ভগ্নাংশ হলে, এবং -(m+n) ∈ N ও জোড় হলে, লব ও হর উভয়কে \sec ^{-(m+n)} x দ্বারা গুণ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১৩:\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x  নির্ণয় কর।

Example 13 – \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x=\int \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} \sin x \cos x} d x

 

=\int \sin ^{-1 / 2} x \cos ^{-3 / 2} x d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sec ^{2} x}\left(\sin ^{-1 / 2} x \cos ^{-3 / 2} x\right) d x \quad\left[\because-\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)=2 \in \mathbb{N}\right]

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sec ^{2} x \sin ^{1 / 2} x \cos ^{3 / 2} x} d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\frac{\sin ^{1 / 2} x}{\cos ^{1 / 2} x} \frac{\cos ^{3 / 2} x}{\cos ^{3 / 2} x}} d x

 

=\int \frac{d(\tan x)}{\sqrt{\tan x}}

 

=2 \sqrt{\tan x}+c    (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate solution):

\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}} \cos ^{2} x} d x

 

=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos ^{2} x} d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan x}} d x

 

=\int \frac{d(\tan x)}{\sqrt{\tan x}}

 

=2 \sqrt{\tan x}+c  (Ans)

 

ধরন-১০ (Type – 10):

\int \tan ^{n} x d x, \int \cot ^{n} x d x, যেখানে, n ∈ N

নিয়ম (Rule): \int \tan ^{n} x d x=\int \tan ^{n-2} x \tan ^{2} x d x

=\int \tan ^{n-2} x\left(\sec ^{2} x-1\right) d x

 

উদাহরণ-১৪: \int \tan ^{3} x d x নির্ণয় কর।

Example – 14: Determine \int \tan ^{3} x d x

সমাধান (Solution):

\int \tan ^{3} x d x=\int \tan x \tan ^{2} x d x 

=\int \tan x\left(\sec ^{2} x-1\right) d x

=\int \tan x \sec ^{2} x d x-\int \tan x d x

=\int \tan x d(\tan x)-\int \tan x d x

=\frac{(\tan x)^{2}}{2}-(-\ln |\cos x|)+c  

=\frac{\tan ^{2} x}{2}+\ln |\cos x|+c  (Ans)

 

ধরন-১১ (Type – 11):

(a)\int \frac{d x}{a+b \cos x+c \sin x}, \int \frac{d x}{a+b \cos x}, \int \frac{d x}{a+b \sin x}

নিয়ম (Rule): \sin x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} এবং \cos x=\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

(b) \int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{d x}{(a \sin x+b \cos x)^{n}}

নিয়ম (Rule): a=r \cos \theta এবং b=r \sin \theta ধরতে হয়।

(c) \int \frac{c \cos x d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{c \sin x d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{c \sin x+d \cos x}{a \sin x+b \cos x} d x

নিয়ম (Rule): লবকে l (হর) +m \frac{d}{d x} (হর) এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করতে হয়।

(d) \int \frac{p \sin x+q \cos x+r}{a \sin x+b \cos x+c} d x

নিয়ম (Rule): লবকে l (হর) +m \frac{d}{d x} (হর) +n এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করতে হয়।

(e) \int \frac{d x}{\sin ^{m} x \cos ^{n} x}

নিয়ম (Rule): d x=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right) d x লিখতে হয়।

 

উদাহরণ-১৫: \int \frac{1}{1+\tan x} d x নির্ণয় কর।

Example – 15: Determine \int \frac{1}{1+\tan x} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x

=\int \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x} d x

=\frac{1}{2}\left[\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right] 

=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c  (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate Solution):

\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\frac{1}{2} \int \frac{(1+\tan x)+(1-\tan x)}{1+\tan x} d x

 

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{1-\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}}}{1+\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}}}\right] d x

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right] d x

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right]

=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c (Ans)

 

ধরন-১২ (Type – 12):

(a) \int \frac{c \sin 2 x d x}{a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x}

নিয়ম (Rule): z=a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x ধরতে হয়।

(b) \int \frac{d x}{a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x}, \int \frac{d x}{a+b \sin ^{2} x}, \int \frac{d x}{a+b \cos ^{2} x}

নিয়ম (Rule): লব ও হর উভয়কে \cos ^{2} x দ্বারা ভাগ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১৬: \int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta} নির্ণয় কর।

Example – 16: Determine \int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta}

সমাধান (Solution):

\int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta}=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{\sec ^{2} \theta\left(1+3 \cos ^{2} \theta\right)}

 

=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{\sec ^{2} \theta+3}

=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{1+\tan ^{2} \theta+3} 

=\int \frac{d(\tan \theta)}{2^{2}+(\tan \theta)^{2}}

=\frac{1}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{2}\right)+c (Ans)

 

অংশায়নের সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ (Integration by parts):

u ও v উভয়ে অন্তরীকরণযোগ্য x এর দুইটি ফাংশন হলে, এ বিশেষ পদ্ধতিতে \int u v d x নির্ণয় করা যায়। uw কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, \frac{d}{d x}(u w)=u \frac{d w}{d x}+w \frac{d u}{d x}

ইহাকে x এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই,

u w=\int u \frac{d w}{d x} d x+\int w \frac{d u}{d x} d x

\Rightarrow \int u \frac{d w}{d x} d x=u w-\int w \frac{d u}{d x} d x \ldots \ldots \text { (i) }

মনে করি, \frac{d w}{d x}=v \quad \therefore w=\int v d x

(i) থেকে পাই, \int u v d x=u \int v d x-\int\left\{\frac{d u}{d x} \int v d x\right\} d x

সুতরাং, দুইটি ফাংশনের গুণফলের যোগজ = প্রথম ফাংশন x দ্বিতীয় ফাংশনের যোগজ -(প্রথম ফাংশনের অন্তরক সহগ দ্বিতীয় ফাংশনের যোগজ) এর যোগজ।

 

uv ধরার কৌশল (Tricks to find uv):

(i) ‘LIATE’ শব্দটি দ্বারা সহজেই কোনটি u ও কোনটি v হবে তা নির্ণয় করা যায়। L(Logarithmic), I(Inverse), A(Algebraic), T(Trigonometric), E(Exponential) ক্রমানুযায়ী যেটি আগে সেটিকে u এবং যেটি পরে সেটিকে v ধরতে হবে। 

(ii) সাধারণত বীজগাণিতিক ফাংশনকে\left(x^{n}\right) প্রথম ফাংশন ধরতে হয়।

(iii) \int \ln x d x, \int \sin ^{-1} x d x ইত্যাদি আকারের যোগজের যোগজীকরণের জন্য 1 কে দ্বিতীয় ফাংশন হিসাবে গণ্য করা হয়।

 

একটি বিশেষ সূত্র (Special Formula): \int e^{a x}\left\{a f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{a x} f(x)+c \text { i. e. }

                                                                \int e^{a x}[a f(x)+D\{f(x)\}] d x=e^{a x} f(x)+c

প্রমাণ (Proof): \frac{d}{d x}\left\{e^{a x} f(x)\right\}=f(x) \frac{d}{d x}\left(e^{a x}\right)+e^{a x} \frac{d}{d x} f(x)=f(x) \cdot a e^{a x}+e^{a x} D\{f(x)\} \quad\left[\because D=\frac{d}{d x}\right]

\therefore \int e^{a x}[a f(x)+D\{f(x)\}] d x=e^{a x} f(x)+c . \text { i. e., }

\int e^{a x}\left\{a f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{a x} f(x)+c

a=1 \text { হলে, } \int e^{x}\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{x} f(x)+c

 

উদাহরণ-১: \int x^{3} \sin 2 x d x নির্ণয় কর।

Example – 1: Determine \int x^{3} \sin 2 x d x

সমাধান (Solution):

\int x^{3} \sin 2 x d x=x^{3} \int \sin 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int \sin 2 x d x\right\} d x

=x^{3}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\int 3 x^{2}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right) d x

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{2}\left[x^{2} \int \cos 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \int \cos 2 x d x\right\} d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{2}\left[x^{2} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}-\int 2 x\left(\frac{\sin 2 x}{2}\right) d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x-\frac{3}{2}\left[x \int \sin 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(x) \int \sin 2 x d x\right\} d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x-\frac{3}{2}\left[x\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\int\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right) d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4}\left[x \cos 2 x-\frac{\sin 2 x}{2}\right]+c

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4} x \cos 2 x-\frac{3}{8} \sin 2 x+c (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate Solution):

\int x^{3} \sin 2 x d x

=x^{3}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\left(3 x^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}\right)+(6 x)\left(-\frac{1}{4} \cdot \frac{-\cos 2 x}{2}\right)-6\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}\right)+c

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4} x \cos 2 x-\frac{3}{8} \sin 2 x+c  (Ans)

দ্রষ্টব্য (Note): প্রথম পদের পরবর্তী পদ থেকে বীজগাণিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক অন্তরক সহগ ও প্রথম পদ থেকে ত্রিকেণোমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক যোগজ ও প্রথম পদ থেকে চিহ্নের পরিবর্তন। এ পদ্ধতি পর্যায়ক্রমিক অংশায়ন যোগজীকরণ “Successive integration by parts”.

 

উদাহরণ-২: \int x \cos ^{2} x d x নির্ণয় কর।

Example – 2: Determine \int x \cos ^{2} x d x 

সমাধান (Solution):

\int x \cos ^{2} x d x=\int \frac{1}{2} x(1+\cos 2 x) d x

 

=\frac{1}{2}\left[\int x d x+\int x \cos 2 x d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x \int \cos 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(x) \int \cos 2 x d x\right\} d x\right.]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x \frac{\sin 2 x}{2}-\int 1 \cdot \frac{\sin 2 x}{2} d x\right.]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{x \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)\right]+c

=\frac{1}{4}\left[x^{4}+x \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 2 x\right]+c   (Ans)

 

উদাহরণ-৩: \int \ln x d x, x>0 নির্ণয় কর।

Example – 3: Determine \int \ln x d x, x>0

সমাধান (Solution):

\int \ln x d x=\ln x \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln x) \int d x\right\} d x

 

=\ln x \cdot x-\int\left\{\frac{1}{x} \cdot x\right\} d x

=x \ln x-\int d x

=x \ln x-x+c   (Ans)

 

উদাহরণ-৪:\int e^{x} \sin 2 x d x নির্ণয় কর।

Example – 4: Determine \int e^{x} \sin 2 x d x

সমাধান (Solution):

ধরি, I=\int e^{x} \sin 2 x d x=\sin 2 x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\sin 2 x) \int e^{x} d x\right\} d x

=\sin 2 x \cdot e^{x}-\int 2 \cos 2 x \cdot e^{x} d x

=e^{x} \sin 2 x-2\left[\cos 2 x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\cos 2 x) \int e^{x} d x\right\} d x\right.

=e^{x} \sin 2 x-2\left[\cos 2 x \cdot e^{x}-\int\left\{-2 \sin 2 x \cdot e^{x}\right\} d x\right.

=e^{x} \sin 2 x-2 e^{x} \cos 2 x-4 \int e^{x} \sin 2 x d x

\Rightarrow I=e^{x} \sin 2 x-2 e^{x} \cos 2 x-4 I+c

\Rightarrow 5 I=e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c

\Rightarrow I=\frac{1}{5} e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c

\therefore \int e^{x} \sin 2 x d x=\frac{1}{5} e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c   (Ans)

 

বি.দ্র. (Note): \int e^{a x} \cos b x d x=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \cos b x+b \sin b x)

                      \int e^{a x} \sin b x d x=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \sin b x-b c \cos b x)

 

উদাহরণ-৫: \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x নির্ণয় কর।

Example – 5: Determine \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x=\int e^{x} \frac{(x+1)-1}{(x+1)^{2}} d x

 

=\int e^{x}\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right\} d x

ধরি, f(x)=\frac{1}{x+1} \quad \therefore f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}

\therefore \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x=\int e^{x}\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{x} f(x)+c

 

=\frac{e^{x}}{x+1}+c    (Ans)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics