অভিকর্ষীয় ত্বরণের পরিবর্তন (Variation of Acceleration Gravity)

মহাকর্ষ সূত্র থেকে জেনেছি যে, অভিকর্ষজ ত্বরণের মান (g) (value of acceleration due to gravity) বস্তুর ভর (m) -এর উপর নির্ভর করে না। এর মান ভূ-কেন্দ্র হতে ঐ স্থানের দূরত্বের উপর নির্ভর করে। এটি হতে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, ভূপৃষ্ঠে কোনো স্থানে g -এর মান নির্দিষ্ট, কিন্তু স্থানভেদে এর পরিবর্তন ঘটে, পৃথিবীর ভর  M=5.983×10^{24}  kg এবং ব্যাসার্ধ R =6.36×10^{6}   m  ধরে ভূ-পৃষ্ঠে g -এর মান হয়, 

g =\frac{6.673 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 5.983 \times 10^{24} \mathrm{~kg}}{\left(6.36 \times 10^{6} \mathrm{~m}\right)^{2}} =9.8465 \mathrm{ms}^{-2}  

পৃথিবী পৃষ্ঠে g -এর মান বেশি হয়। আবার মেরু অঞ্চলে অপেক্ষা বিষুব অঞ্চলে কম হয়। পৃথিবীর কেন্দ্রে শূন্য হয়।

অভিকর্ষজ ত্বরণ g  ধ্রুবক নয়। তিনটি কারণে অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন (Variation of Acceleration due to Gravity) ঘটে। 

(১) উচ্চতার ক্রিয়া (Altitude effect). 

(২) অক্ষাংশ ক্রিয়া বা আকৃতি ক্রিয়া (Latitude effect or effect of shape)

(৩) পৃথিবীর ঘূর্ণন ক্রিয়া বা পৃথিবীর আহ্নিক গতি ক্রিয়া (Rotational effect of the earth or effect of diurnal rotation of the earth)

১। উচ্চতার ক্রিয়া (Altitude effect): 

পৃথিবীর কেন্দ্র হতে কোনো স্থানের দূরত্বের তারতম্য ভেদে অভিকর্ষজ ত্বরণ ‘g ‘ এর মানের পরিবর্তন ঘটে। এটি আলোচনা করতে হলে তিনটি বিষয় আলোচনা করতে হয়; যথা- 

(ক) কোনো বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠে অবস্থিত: 

কোনো বস্তু যদি ‘M ’ ভর এবং ‘R ’ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট পৃথিবী পৃষ্ঠে অবস্থান করে তবে ঐ বস্তুর উপর তথা ভূ-পৃষ্ঠে,

\mathbf{g} =\mathbf{G}\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{R}^{2}}…   …   …   (6.12)

        =\frac{4}{3} \pi G R p …   …   …   (6.13)

∴g =\frac{4}{3} \pi G R p

এখানে, ρ =পৃথিবীর উপাদানের গড় ঘনত্ব ও \frac{4}{3} \pi R^{3} = পৃথিবীর আয়তন। 

কাজ: দার্জিলিং এ কোনো জিনিস স্প্রিং তুলায় মেপে কেনা লাভজনক নাকি সাধারণ তুলায় মেপে কেনা লাভজনক?

দার্জিলিং সমুদ্র পৃষ্ঠ থেকে অনেক উপরে অবস্থিত বলে g -এর মান কিছুটা কম। 

(খ) কোনো বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে উপরে অবস্থিত: 

মনে করি M পৃথিবীর ভর এবং R তার ব্যাসার্ধ। যদি বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে  h উচ্চতায় অবস্থান করে তবে ঐ বস্তুর উপর তথা ভূ-পৃষ্ঠ হতে h উচ্চতায় অভিকর্ষীয় ত্বরণ, 

\mathbf{G}_{\mathbf{h}} =\frac{\mathbf{G M}}{(\mathbf{R}+\mathbf{h})^{\mathbf{2}}}  …   …   …   (6.14)

আমরা জানি, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ g =\mathbf{G} \frac{\mathbf{M}}{\mathbf{R}^{2}} ।  অতএব দেখা যায় যে,

 এই সমীকরণ অপেক্ষা সমীকরণ (6.12)-এ হরের মান বেশি।

 কাজেই ভাগফল অর্থাৎ অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান কম হবে।

অতএব পৃথিবী পৃষ্ঠ অপেক্ষা উপরে অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান কম হবে এবং দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হবে। সুতরাং দূরত্ব বাড়লে অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান কমবে এবং দূরত্ব কমলে অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান বাড়বে। এই কারণে পাহাড়ের উপর অভিকর্ষীয় তুরণ-এর মান পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান অপেক্ষা কম হয়।

সমীকরণ (6.12)-কে সমীকরণ (6.10) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়,

\frac{\mathrm{g}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{g}} =\frac{G M}{(R+h)^{2}} x\frac{R^{2}}{G M}

বা,  \frac{\mathrm{g}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{g}} =\frac{\mathbf{R}^{2}}{(\mathbf{R}+\mathbf{h})^{2}} =\frac{1}{\left(1-\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{R}}\right)^{2}}      h≪R হলে, \frac{\mathrm{g}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{g}} =\left(1-\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{R}}\right)

বা, \mathbf{g}_{\mathbf{h}} =g \left(1-\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{R}}\right) …   …   …   (6.15)

অর্থাৎ, \mathbf{g}_{\mathbf{h}} <g । সুতরাং বলা যায় h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের ত্বরণের মান অপেক্ষা কম।

(গ) কোনো বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিচে অবস্থিত : 

মনে করি, পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে d দূরত্ব নিচে B বিন্দু কোনো বস্তু আছে এবং ঐ স্থানে অভিকর্ষীয় ত্বরণ \mathbf{g}_{\mathbf{d}} । B বিন্দুতে অবস্থিত যে কোনো বস্তুর উপর কেন্দ্র O-এর দিকে পৃথিবীর আর্কষণ (R—d)  ব্যাসার্ধবিশিষ্ট AB গোলকের আর্কষণের সমান। এই গোলকের বাইরের অংশ বস্তুর উপর কার্যকর কোনো আকর্ষণ প্রয়োগ করে না।

                                                              

এখন OB গোলকের আয়তন =\frac{4}{3} \pi(R-d)^{3}

OB গোলকের ভর M’ ধরলে, 

M‘= আয়তন ঘনত্ব × ঘনত্ব =\frac{4}{3} \pi(R-d)^{3} × ρ

{ g _ d } =\frac{G M^{\prime}}{(R-d)^{2}} =G ×4\pi \frac{(R-d)^{3} p}{(R-d)^{2}}

বা, { g _ d } =4\pi \frac{(R-d)^{3} p}{(R-d)^{2}} …   …   …   (6.16)

বা, { g _ d } =k(R-d) …   …   …   6.17

এখানে, k=\frac{4}{3} \pi \mathrm{G} \rho  একটি ধ্রুব রাশি। 

এখন OB গোলকের আযতন =\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}-\mathrm{d})^{3}
OB গোলকের ভর \mathrm{M}^{\prime} ধরলে,
\mathrm{M}^{\prime}=\text { আয়তন } \times \text { ঘনত্ব }=\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}-\mathrm{d})^{3} \times \rho
\begin{array}{l} g_{d}=\frac{G M^{\prime}}{(R-d)^{2}}=G \times \frac{4}{3} \pi \frac{(R-d)^{3} \rho}{(R-d)^{2}} \\ \text { বা, } g_{d}=\frac{4}{3} \pi G(R-d) \rho \\ \text { বা, } g_{d}=k(R-d) \\ \text { এখানে, } k=\frac{4}{3} \pi G \rho \text { একটি ধ্রুব রাশি। } \end{array}

উপরের সমীকরণ অনুসারে d -এর মান যত বাড়বে, (R-d) এর মান তত কমবে। অতএব, যত পৃথিবীর ভেতরের দিক যাওয়া যাবে, অভিকর্ষীয় ত্বরণ-এর মান ততই কমবে অর্থাৎ ভূ-গর্ভে অভিকর্ষীয় ত্বরণ ভূ-কেন্দ্র হতে দূরত্বের সমানুপাতিক। এভাবে যেতে যেতে যদি ভূ-কেন্দ্রে পৌছা যায় তবে d -এর মান R -এর সমান হবে। 

অতএব ভূ-কেন্দ্রে, 

{ g _ d } =k(R-d)  

বা, { g _ d } =0…   …   …   (6.18)

সুতরাং পৃথিবীর অভ্যন্তরে, যেমন কোনো খনির ভেতরে g -এর মান ভূ-পৃষ্ঠে g -এর মান অপেক্ষা কম হয়।

সিদ্ধান্ত: ভূ-পৃষ্ঠের উপরে গেলে ‘g ‘-এর মান কমে, আবার পৃথিবীর অভ্যন্তরে গেলে ‘s ’-এর কমে। পৃথিবীর কেন্দ্রে কোনো আকর্ষণ নেই। সুতরাং পৃথিবীর কেন্দ্রে g -এর মান শূন্য এবং ভূ-পৃষ্ঠেই g এর মান সর্বাপেক্ষা বেশি।

সমীকরণ (6.18)-কে সমীকরণ (6.9) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়,

\begin{array}{l} \frac{g_{d}}{g}=\frac{\frac{4}{3} \pi G(R-d) \rho}{\frac{4}{3} \pi G R \rho} \text { বা, } \frac{g_{d}}{g}=\frac{R-d}{R}=\left(1-\frac{d}{R}\right) \\ \therefore g_{d}=g\left(1-\frac{d}{R}\right) \end{array}

…   …   …   (6.19)

অর্থাৎ, { g_d } < g সুতরাং  d গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের ত্বরণের মান অপেক্ষা কম।

২। অক্ষাংশ ক্রিয়া বা আকৃতি ক্রিয়া (Latitude effect or effect of shape):

পৃথিবী সম্পূর্ণ গোলাকার নয়; উত্তর-দক্ষিণ কিছুটা চাপা এবং নিরক্ষীয় অঞ্চলে কিছুটা স্ফীত অর্থাৎ পৃথিবী আকৃতিতে হ্রাস্বাক্ষ উপগোলক (oblate spheriod).

পৃথিবীর মেরু-ব্যাসার্ধের (polar radius) চেয়ে নিরক্ষীয়-ব্যাসার্ধ (equatorial radius) প্রায় 22 km  বেশি। ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক বলে মেরু অঞ্চলে g– এর মান সর্বোচ্চ এবং নিরক্ষীয় অঞ্চলে সর্বনিম্ন হয়। অন্য যেকোনো স্থানে g-এর মান এই দুটি প্রান্তিক মানের মধ্যে থাকে।

৩। পৃথিবীর ঘূর্ণন ক্রিয়া বা পৃথিবীর আহ্নিক গতি ক্রিয়া (Rotational effect of the earth or effect of diurnal rotation of the earth):

পৃথিবী নিজ অক্ষের চারদিকে ঘুরছে বলে একমাত্র দুটি মেরুতে অবস্থিত বস্তু ছাড়া ভূ-পৃষ্ঠের অন্য সব বস্তুই বৃত্তাকার পথে ঘুরছে। বৃত্তাকার পথগুলির কেন্দ্র পৃথিবীর অক্ষের উপর থাকে। এ কারণে বস্তুগুলির উপর অপকেন্দ্র বল ক্রিয়া করে। এই বলের মান নিরক্ষরেখায় অবস্থিত বস্তুর ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ এবং দুটি মেরুর ক্ষেত্রে শূন্য হয়। এই বল অভিকর্ষের বিপরীত অভিমুখে ক্রিয়া করায় বস্তুর ওজনের আপাত হ্রাস হয়। 

মনে করি, m ভরের কোনো বস্তু ভূ-পৃষ্ঠে λ অক্ষাংশে A বিন্দুতে আছে। পৃথিবী কৌণিক বেগে নিজ অক্ষ NS-এর চারদিকে ঘুরছে বলে ঐ বস্তু ω  কৌণিক বেগে AB=r   ব্যাসার্ধের বৃত্তপথে ঘোরে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R হলে r =R \cos \lambda । এই ঘূর্ণনের জন্য বস্তুর উপর AC অভিমুখে অপকেন্দ্র বল D ক্রিয়া করে। অভিকর্ষের জন্য নিরক্ষরেখা বস্তুর উপর F =mg  বল পৃথিবীর কেন্দ্র অর্থাৎ AO অভিমুখে ক্রিয়া করে। বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল অপকেন্দ্র বল D অভিমুখে অর্থাৎ অভিকর্ষের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। এর উপাংশ হলো m \omega^{2} \mathbf{r}  \cos \lambda । অতএব, A বিন্দুতে অবস্থিত বস্তুর আপাত ওজন হবে,

mg –m \omega^{2} \mathbf{r}  \cos \lambda =mg –m \omega^{2} R \cos ^{2} \lambda

A বিন্দুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান g ‘ হলে বস্তুটির আপাত ওজন হয় mg’

অতএব g ‘=g \left(1-\frac{\omega^{2} R \cos ^{2} \lambda}{g}\right)  …   …   …   (6.20)

নিরক্ষরেখায় \lambda = 0^{\circ} ; কাজেই \cos \lambda   =1

∴g ‘=g \left(1-\frac{\omega^{2} \mathbf{R}}{\mathbf{g}}\right)=g –\omega^{2} \mathbf{R} …   …   …   (6.21)

আবার, মেরু বিন্দুতে \lambda =90°; কাজেই \cos \lambda = 0; ∴g ‘=g

সুতরাং পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণনের দরুন g -এর মান পরিবর্তিত হয়। নিরক্ষরেখায় g  এর মান সর্বনিম্ন এবং দুটি মেরুতে সর্বোচ্চ হয়। অন্যান্য স্থানে g -এর মান এই দুটি প্রান্তিক মানের মধ্যে থাকে। পৃথিবীর আকৃতি ও আহ্নিক গতির দরুন g -এর মানের একই ধরনের পরিবর্তন হয়।

উপরের আলোচনা এবং পরীক্ষালব্ধ ফলাফল হতে g -এর মান সম্পর্কে আমরা নিম্নলিখিত সিদ্ধান্ত নিতে পারি।

(১) পৃথিবীর পৃষ্ঠ হতে উপর দিকে উঠলে এর মান কমে। 

(২) পৃথিবীর অভ্যন্তরে নামলে এর মান কমে। 

(৩) বিষুব অঞ্চল হতে মেরু অঞ্চলে অগ্রসর হলে এর মান বাড়ে। 

(৪) ঘূর্ণনজনিত কারণে মেরু অঞ্চলে এর মান অল্প কমে, কিন্তু বিষুবীয় অঞ্চলে বেশি কমে। 

(৫) মেরুতে g  এর মান =9.832 \mathrm{ms}^{-2}xc  ; বিষুব অঞ্চলে g  এর মান =9.780 \mathrm{ms}^{-2}

      ঢাকায় g  এর মান =9.7835 \mathrm{ms}^{-2} : রাজশাহীতে g  এর = 9.790 \mathrm{ms}^{-2} 

(৬) ভূ-পৃষ্ঠে g  এর মান বিভিন্ন স্থানে বিভিন্ন বলে সমুদ্র পৃষ্ঠে এবং 45° অক্ষাংশে g -এর মানকে আদর্শ ধরা হয়।
    g এর আদর্শ বা ব্যবহারিক মান =9.81 ms-2

(৭) g এর মান জেনে পৃথিবীর গড় ঘনত্ব সম্বন্ধে ধারণা লাভ করা যায়।

কাজ: পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান এবং দূরত্বের লেখচিত্রটি কীরূপ হবে?

পৃথিবীর বাইরে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবী আর পৃথিবীর ভেতরে কেন্দ্র থেকে দূরত্বের সমানুপাতিক। পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান শূন্য। 

হিসাব কর: ভূপৃষ্ঠ থেকে কত উচুতে গেলে সেখানকার অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণে মানের শতকরা একাশি ভাগ হবে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \mathrm{R}=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}

ভূ-পৃষ্ঠে g=\frac{G M}{R^{2}}

এবং ভূ-পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতায়, g^{\prime}=\frac{G M}{(r+h)^{2}}

\therefore \frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\right)^{2} \text { বা, } \frac{81}{100}=\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\right)^{2} \text { এই সমীকরণ থেকে নির্ণয় কর। }