৩৭ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (37th BCS Preli Question Bank)

অনুপাত সমূহের যোগফল = \frac {1} {3} + \frac {1} {5} + \frac {1} {9} = \frac {15 + 9 + 5} {45} = \frac {29} {45} \\[3px]

\therefore প্রথম ভাই পাবে = 261 এর \frac { \frac {1} {3} } { \frac{29} {45} } = 261 এর \frac{1} {3} \times \frac{45} {29} = 261 \times \frac {45} {87} = 135 \\[5px]

সুতরাং, প্রথম ভাই পাবে 135টি আম।

আসল, P_1 = 3000 টাকা \\[3px]

মুনাফার হার, r_1 = 10% = \frac {10} {100} \\[3px]

সময়, n_1 = 1 বছর \\[3px]

\therefore সরল মুনাফা, I_1 = P_1 \times r_1 \times n_1 = 3000 \times \frac{10} {100} \times 1 = 300 \\[7px]

আবার, \\[3px]

আসল, P_2 = 2000 টাকা \\[3px]

মুনাফার হার, r_2 = 8% = \frac {8} {100} \\[3px]

সময়, n_2 = 1 বছর \\[3px]

\therefore সরল মুনাফা, I_2 = P_2 \times r_2 \times n_2 = 2000 \times \frac{8} {100} \times 1 = 160 \\[7px]

এখন, মোট মূলধন, P = P_1 + P_2 = 3000 + 2000 টাকা = 5000 টাকা এবং \\[3px]

মোট মুনাফা, I = I_1 + I_2 = 300 + 160 টাকা = 460 টাকা \\[7px]

এখন, আমরা জানি, \\[3px]

সরল মুনাফা, I = Prn \\[3px]

বা, Prn = I \\[3px]

বা, r = \frac {I} {Pn} \\[3px]

বা, r = \frac {460} { 5000 \times 1} \times 100 \times \frac{1} {100} \\[3px]

বা, r = \frac{46} {5} \times \frac{1} {100} \\[3px]

\therefore r = 9.2% \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore 1 টি ডিমের ক্রয়মূল্য \frac {100} {10} টাকা = 10 টাকা \\[5px]

আবার, \\[3px]

8টি ডিমের বিক্রয়মূল্য 100 টাকা \\[5px]

\therefore 1 টি ডিমের ক্রয়মূল্য \frac {100} {8} টাকা = \frac {25} {2} টাকা \\[7px]

\therefore লাভ = \left( \frac {25} {2} - 10 \right) টাকা = \left( \frac {25 - 20} {2} \right) টাকা = \frac{5} {2} টাকা = 2.5 টাকা \\[5px]

এখন, \\[3px] 10 টাকায় লাভ হয় 2.5 টাকা \\[3px] \therefore 1 টাকায় লাভ হয় \frac{2.5} {10} টাকা \\[3px] \therefore 100 টাকায় লাভ হয় \frac{2.5 \times 100} {10} টাকা = 25 টাকা \\[3px]

সঠিক উত্তর: 25%

\left(x - \frac {1} {x}\right)^2 = \left( x + \frac {1} {x} \right)^2 - 4 \times x \times \frac {1} {x} \\[5px]\implies \left(x - \frac {1} {x}\right)^2 = \left( 3 \right)^2 - 4 \\[5px]\implies \left(x - \frac {1} {x}\right)^2 = 9 - 4 \\[5px]\therefore x - \frac {1} {x} = \sqrt {5} \\[7px] \therefore প্রদত্ত রাশি = \left( x^2 - \frac {1} {x^2} \right) = \left( x + \frac {1} {x} \right) \left( x - \frac {1} {x} \right) = 3 \times \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

দুইটি রাশির গুণফল তখন ঋণাত্মক হবে, যখন দুইটি রাশির একটি রাশি ধনাত্মক এবং অপরটি ঋণাত্মক হবে। যেমন: (x+1)(x-2) অথবা (x-9) (x+12). উপরোক্ত অসমতাটির ক্ষেত্রে, অসমতাটির মান একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে নিম্নে উপস্থাপন করা হলো: \\[7px]

শর্ত-(1): \\[3px](x-3) \lt 0 \\[3px]\implies x \lt 3 \space এবং \\[9px]

শর্ত-(2): \\[3px]x - 2 \gt 0 \\[3px]\implies x -2 +2 \gt 0 + 2 \space [ \space \because \space উভয়পক্ষে \space 2 \space যোগ\space করে] \\[3px]\implies x \gt 2 \\[7px]

শর্ত-(1) এবং শর্ত-(2) থেকে ২টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা: \\[3px]

I. x \lt 3 \\[3px]

II. x \gt 2 \\[7px]

সুতরাং, x^2 - 5x + 6 \lt 0 এর সমাধান: 2 \lt x \lt 3

একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = y \\[3px]

\therefore সংখ্যাটি = x + 10y \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, অংক দুইটির যোগফল = 12 অর্থাৎ x + y = 12 \mathellipsis \space \mathellipsis [katex] (i) [katex] \\[5px]

ধরি, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে গঠিত নতুন সংখ্যা = y + 10x এবং প্রশ্নানুযায়ী, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। \\[5px]

তবে, y + 10x = x + 10y + 54  \\[3px]

বা, y + 10x -x - 10y = 54 \\[3px]

বা, 9x - 9y = 54  \\[3px]

বা, \frac{9x}{9} - \frac{9y}{9} = \frac{54}{9} [ \because উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে ] \\[3px]

\therefore  x - y = 6  \mathellipsis \space \mathellipsis (ii)

(i) + (ii) হতে পাই, \\[3px]

বা, 2x = 18 \\[3px]

বা, x =\frac{18} {2} \\[3px]

এখন, x এর মান (i)-নং এ বসিয়ে পাই, \\[3px]

বা, y = 12 - x \\[3px]

বা, y = 12 - 9 \\[3px]

\therefore সংখ্যাটি = x + 10y = 9 + 10 \times  3 = 9 + 30 = 39  \bm { \left[ Ans.\right] }

\implies x^{-\frac{1}{2}} = \frac {3} {2} \space [ \space \because \space \log_x{a} = b \implies x^b = a ] \\[5px]

\implies \frac {1} {x^\frac{1}{2}} = \frac {3} {2} \\[5px]

\implies \frac {1} {\sqrt{x}} = \frac {3} {2} \\[5px]

\implies 3 \sqrt{x} = 2 \\[5px]

\implies \sqrt{x} = \frac{2}{3} \\[5px]

\implies \left(\sqrt {x}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \space [ \space \because উভয়পক্ষকে \space বর্গ \space করে \space] \\[5px]

\therefore x = \frac{4} {9} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

প্রশ্নানুযায়ী, ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 10 \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

n-তম পদ = a + (n-1)d \\[3px]

\therefore 6-তম পদ = a + (6 - 1)10 = a + 5 \times 10 = a + 50 \\[3px]

আবার, প্রশ্নানুযায়ী, 6-তম পদ = 52 \\[3px]

বা, a + 50 = 52 \\[3px]

\therefore a = 52 - 50 = 2 \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

n-তম পদ = a + (n-1)d \\[3px]

\therefore 15-তম পদ = 2 + (15 - 1)10 = 2 + 14 \times 10 = 2 + 140 = 142 \bm { \left[ Ans.\right] }

আমরা জানি, \\[3px]

n-তম পদ = ar^{n-1} \\[3px]

\therefore তৃতীয় পদ = ar^{3-1} = ar^{2} \\[3px]

এবং, ষষ্ঠ পদ = ar^{6-1} = ar^{5} \\[3px]

এখন, প্রশ্নানুযায়ী, 3-তম পদ = 20 \\[3px]

বা, ar^{2} = 20 \mathellipsis \space \mathellipsis (i) \\[5px]

এখন, প্রশ্নানুযায়ী, 6-তম পদ = 160 \\[3px]

বা, ar^{5} = 160 \mathellipsis \space \mathellipsis (ii) \\[5px]

এখন, (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই, \\[3px]

\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{160}{20} \\[5px]

\implies r^3 = 8 \\[3px]

\implies r^3 = 2^3 \\[3px]

\therefore r = 2 \\[5px]

এখন, r এর মান (i)-নং এ বসিয়ে পাই, \\[3px]

ar^{2} = 20 \\[3px]

বা, a \left( 2 \right)^2 = 20 \\[3px]

বা, 4a = 20 \\[3px]

বা, a = \frac{20} {4} \\[3px]

\therefore a = 5 \\[3px]

সুতরাং, প্রথম পদটি 5 \bm { \left[ Ans.\right] }

অপশন সমূহ থেকে বোঝা যাচ্ছে যে, ত্রিভুজটি সমবাহু এবং সমদ্বিবাহু হবে না। কারণ, সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মান একই হবে এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোন দুইটি বাহুর মান একই হবে। কিন্তু, প্রশ্নানুযায়ী, কোন বাহুর মান একই নয়, তিনটি বাহুর মান ভিন্ন। তাই, ত্রিভুজটি সমবাহু এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে না। \\[5px]

এখন, যে তিনটি বাহুর মান দেওয়া রয়েছে। উক্ত বাহুর মধ্যে যেকোন ০২ টি বাহুর বর্গের যোগফলের মান, অপর বাহুর বর্গের মানের সমান হলে, উক্ত ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ। অন্যথায়, ত্রিভুজটি হবে স্থুলকোণী ত্রিভুজ। \\[5px]

8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \\[5px]

উপরোক্ত গাণিতিক আলোচনা থেকে লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, ত্রিভুজটির ২টি বাহুর বর্গের যোগফলের মান, অপর বাহুর বর্গের যোগফলের মানের সমান। যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে। অর্থাৎ, লম্ব^2 + ভূমি^2 = অতিভুজ^2 \\[5px]

সুতরাং, উক্ত ত্রিভুজটি হচ্ছে সমকোণী ত্রিভুজ।

ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13cm \\[3px]

বৃত্তটির জ্যা, AB = 24 cm; AC = 12 cm [ \because বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। ] \\[3px]

বৃত্তটির লম্ব দূরত্ব, OC = x cm \\[3px]

এখন, \triangle {OAC} এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, \\[3px]

OC^2 + AC^2 = OA^2 \\[3px]

\implies OC^2 = OA^2 - AC^2 \\[3px]

\implies x^2 = 13^2 - 12^2 \\[3px]

\implies x^2 = 169 - 144 \\[3px]

\implies x^2 = 25 \\[3px]

\implies x = \sqrt{25} \\[3px]

\therefore x = 5 \\[5px]

সুতরাং, লম্ব দূরত্ব = 5 cm. \bm { \left[ Ans.\right] }

B = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 \lt 25 }, \\

C = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 = 25 }, \\

হলে, A \cap B \cap C = ?

এখানে, A = { x | x, ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x^2 \lt 25 } এর অর্থ হচ্ছে x যেন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় এবং x এর মানটিকে বর্গ করলে 25 এর ছোট হয় । \\[5px]

তাহলে, x = 1 হলে, x^2 = 1^2 = 1 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 2 হলে, x^2 = 2^2 = 4 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 3 হলে, x^2 = 3^2 = 9 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 4 হলে, x^2 = 4^2 = 16 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 = {25} , যা গ্রহণযোগ্য নয়। \\[5px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 = 25 , যা গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ, x এর বর্গের মান 25 এর ছোট হতে হবে x^2 \lt 25 । কিন্তু, 25 এর বড় বা সমান হতে পারবে না এবং 25 হচ্ছে 25 এর সমান। তাই, 5 গ্রহণযোগ্য নয়। \\[5px]

\therefore A = {1, 2, 3, 4} \\[5px]

আবার, \\[3px]

B = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 \lt 25 } \\[3px]

এখানে, B = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 \lt 25 } এর অর্থ হচ্ছে x যেন মৌলিক সংখ্যা হয় এবং x এর মানটিকে বর্গ করলে 25 এর ছোট হয় । \\[5px]

তাহলে, x = 2 হলে, x^2 = 2^2 = 4 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 3 হলে, x^2 = 3^2 = 9 \lt 25 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 = {25} , যা গ্রহণযোগ্য নয়। \\[7px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 = 25 , যা গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ, x এর বর্গের মান 25 এর ছোট হতে হবে x^2 \lt 25 । কিন্তু, 25 এর বড় বা সমান হতে পারবে না এবং 25 হচ্ছে 25 এর সমান। তাই, 5 গ্রহণযোগ্য নয়। \\[5px]

\therefore B = {2, 3} \\[5px]

আবার, \\[3px]

C = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 = 25 } \\[3px]

এখানে, C = { x | x, মৌলিক সংখ্যা এবং x^2 = 25 } এর অর্থ হচ্ছে x যেন মৌলিক সংখ্যা হয় এবং x এর মানটিকে বর্গ করলে 25 এর সমান হয় । \\[5px]

তাহলে, x = 2 হলে, x^2 = 2^2 = 4 \neq 25 , যা গ্রহণযোগ্য নয়। \\[3px]

x = 3 হলে, x^2 = 3^2 = 9 \neq 25 , যা গ্রহণযোগ্য নয়। \\[3px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 = {25} , যা গ্রহণযোগ্য। \\[5px]

\therefore C = {5} \\[7px]

এখন, A \cap B \cap C = {1, 2, 3, 4} \cap {2, 3} \cap {5} = \emptyset \bm { \left[ Ans.\right] }

সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিসের মধ্যের সমাবেশ = ^{9}C_5 = \frac {9!} {5!(9-5)!} = \frac {9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!} {5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac {15120} {120} = 126 \\[5px]

\therefore বাছাই সংখ্যা = ^{8}C_3 + ^{9}C_5 = 56 + 126 = 182 \bm { \left[ Ans.\right] }

দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = \frac{8} {24} = \frac{1}{3} \\[3px]

আমরা জানি, কোন ঘটনা ঘটার এবং না ঘটার সমষ্টি বা যোগফল = 1 \\[5px]

তবে, (দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা হওয়ার সম্ভাবনা + দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা) = 1 \\[3px]

বা, দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ( 1 - দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা হওয়ার সম্ভাবনা ) = 1 - \frac{1} {3} = \frac{3 - 1} {3} = \frac{2} {3} \\[5px]

সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = \frac{2} {3}