৪০ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (40th BCS MCQ Question Bank)

ax^2 + bx + c = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক: b^2 - 4ac \\[7px]

01. b^2 - 4ac = 0 হয়, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। \\[3px]

02. b^2 - 4ac \gt 0 হয়, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান। \\[3px]

03. b^2 - 4ac \lt 0 হয়, মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান। \\[7px]

প্রশ্নানুযায়ী, প্রদত্ত সমীকরণ: 6x^2 - 7x - 4 = 0 \\[5px]

6x^2 - 7x - 4 = 0 কে ax^2 - bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, \\[3px]

a = 6 , b = -7, c = -4 \\[5px]

এখন, \\[3px]

b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 6 \times \left( -4 \right) = 49 + 96 = 145 \\[3px]

145 \gt 0 অর্থাৎ 145, 0 অপেক্ষা বড় এবং 0 এর সমান নয়। \\[5px]

সুতরাং, 6x^2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

চিত্রে \angle {PQR} = 55 \degree, \angle {LRN} = 90 \degree এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, \angle {NRP} এর মান নিচের কোনটি?

\angle {LRN} = 90 \degree এবং \angle {NRQ} = 90 \degree [ \because \space \angle {LRN} + \angle {NRQ} = 180 \degree অর্থাৎ 1 সরলকোণ ] \\[3px]

PQ = PR অর্থাৎ PQ এবং PR বাহু পরস্পর সমান হলে, ভূমি সংলগ্ন কোণ সমূহ সমান হবে। অর্থাৎ, \angle {PRQ} = 55\degree এবং \angle {PQR} = 55 \degree \\[5px]

বা, \angle {NRP} = \angle {NRQ} - \angle {PRQ} = 90\degree - 55 \degree = 35 \degree \\[3px]

সঠিক উত্তর: \angle {NRP} = 35 \degree

এখানে, P = {x:x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এর অর্থ হচ্ছে x এর মধ্যে 12 এর সকল গুণনীয়কসমূহ থাকবে এবং 12 এর গুণনীয়কসমূহ অর্থ হচ্ছে 12 সংখ্যাটিকে ভাঙলে বা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় উক্ত সংখ্যা সমূহ। \\[3px]

Q = { x:x, 3 এর গুণিতক এবং x \leq {12} } এর অর্থ হচ্ছে x এর মধ্যে 3 এর গুণিতক থাকবে এবং 3 এর গুণিতক 12 পর্যন্ত হবে। 3 এর গুণিতক হচ্ছে 3 দ্বারা যেসব সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, উক্ত সংখ্যা সমূহ। \\[3px]

Q = {x:x, 3 এর গুণিতক এবং x \leq {12} } = {3, 6, 9, 12} \\[5px]

এখন, P-Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {3, 6, 9, 12} = {1, 2, 4} \bm { \left[ Ans.\right] }

এখন, x^3 + \frac {1} {x^3} \\[3px]= (x + \frac {1} {x})^3 - 3 \times x \times \frac {1} {x} (x + \frac {1} {x} ) \\[3px]= (\sqrt {3})^3 - 3 \sqrt{3} \\[3px]= ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} ) - 3 \sqrt{3} \\[3px]= 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \\[3px]= 0 \space \bm { \left[ Ans.\right] }

লগারিদম কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। অর্থাৎ ( a \gt 0 ) এবং a এর মান 1 এর সমান ( a = 1) হতে পারবে না। কারণ, \log_1{1} = 1 , তাই, \log_a{1} = 0 হতে a \ne 1 হতে হবে। অর্থাৎ a এর মান 1 এর অসমান হতে হবে। \\[5px]

সঠিক উত্তর: a \gt 0, a \ne 1

I. 0.\dot{4} = 0.44444444444….. (যা একটি মূলদ সংখ্যা) \\[5px]

II. \sqrt{9} = \sqrt{ 3^2 } = 3 (যা একটি মূলদ সংখ্যা) \\[5px]

III. 5.\dot{6} 3 \dot{9} = 5.639639639639639...... (যা একটি মূলদ সংখ্যা) \\[5px]

IV. \sqrt{ \frac {27} {48} } = \sqrt{ \frac {3 \times 9} {3 \times 16} } = \sqrt{ \frac {3 \times 3^2} {3 \times 4^2} } = \frac {3} {4} (যা একটি মূলদ সংখ্যা) \\[7px]

উপরোক্ত আলোচনা থেকে দেখা যাচ্ছে, উপরের প্রতিটি সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করা যাচ্ছে এবং প্রতিটি সংখ্যার একটি নির্দিষ্ট মান রয়েছে। তাই, উপরোক্ত সবগুলো অপশনই মূলদ সংখ্যা, এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নেই। তাই, এই প্রশ্নটির সঠিক উত্তর নেই।

৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + 8) টাকা = ১০৮ টাকা \\[3px]

\therefore বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১০৮ – ৮৮) টাকা = ২০ টাকা \\[5px]

বিক্রয়মূল্য বেশি ২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা \\[5px]

\therefore বিক্রয়মূল্য বেশি ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য \frac {১০০} {২০} টাকা \\[5px]

\therefore বিক্রয়মূল্য বেশি ১২০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য \frac {১২০০ \times ১০০} {২০} টাকা = ৬০০০ টাকা \\[7px]

সুতরাং, মটর সাইকেলের ক্রয় মূল্য = ৬০০০ টাকা \bm { \left[ Ans.\right] }

= \frac {(০.৯ + ০.৪) \{ (০.৯)^২ - ০.৯ \times ০.৪ + (০.৪)^২\}} {(০.৯ + ০.৪} [ \because \space a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 – ab + b^2 ) ] \\[3px]

= ০.৮১ – ০.৩৬ + ০.১৬ \\[3px]

= ০.৯৭ – ০.৩৬ \\[3px]

= ০.৬১ \bm { \left[ Ans.\right] }

নিয়ম: \\[3px]

০১. যদি কোন অসমতার সমাধানের \gt বা \lt থাকে, তবে প্রথম বন্ধনী () হবে। যেমন: \\[3px]

01. \space x \gt 1 = (1, \infty) \\[3px]02. \space x \gt 3 = (3, \infty) \\[3px]03. \space x \lt 1 = (1, -\infty) \\[3px]04. \space x \lt 3 = (3, -\infty) \\[5px]

০২. যদি কোন অসমতার সমাধানের \geq বা \leq থাকে, তবে একটি তৃতীয় বন্ধনী এবং একটি প্রথম বন্ধনী [ ) হবে। যেমন: \\[3px]

01. \space x \geq 1 = [1, \infty) \\[3px]02. \space x \geq 3 = [3, \infty) \\[3px]03. \space x \leq 1 = [1, -\infty) \\[3px]04. \space x \leq 3 = [3, -\infty) \\[5px]

০৩. \infty থাকলে, \infty চিহ্ন যে পাশে থাকবে, সেই পাশে প্রথম বন্ধনী থাকবে। অর্থাৎ, \infty চিহ্ন ডানে থাকলে “(” চিহ্ন এবং বামে থাকলে “)” চিহ্ন বসবে। যেমন: \\[3px]

01. \space x \geq 1 = [1, \infty) \\[3px]02. \space x \geq 3 = [3, \infty) \\[3px]03. \space x \lt 1 = (1, -\infty) \\[3px]04. \space x \leq 3 = [3, -\infty) \\[7px]

এখন, প্রশ্নানুযায়ী, \\[3px]

যেহেতু অসমতাটির সমাধান হচ্ছে x \gt 1 , সেহুতু অসমতাটির ব্যবধি হবে \left(1, \infty \right) \\[5px]

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান সেট: \left(1, \infty \right) \space \bm { \left[ Ans.\right] }

\cos \left( \frac {4 \pi} {2} \right) = \cos 2 \pi = \left( \cos 2 \pi + 0 \right) = \cos 0 = 1 \space \bm { \left[ Ans.\right] }

সুতরাং 6 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে 20 ভাবে বিভক্ত করা যায়। \bm { \left[ Ans.\right] }

3 – 1 = 2 \\[3px]

4 – 2 = 2 \\[3px]

5 – 3 = 2 \\[3px]

6 – 4 = 2 \\[5px]

এখন, \\[3px]

3, 4, 5, 6 এর ল.সা.গু অপেক্ষা 2 কম হবে নির্ণেয় পূর্ণসংখ্যা। \\[3px]

3, 4, 5, 6 এর ল.সা.গু. = 60; 60 থেকে 2 বিয়োগ করলে পাই, 60-2 = 58 \\[5px]

সুতরাং নির্ণেয় পূর্ণসংখ্যা = 58 \bm { \left[ Ans.\right] }

তপন : রবিন = 5 : 4 = (5 \times 3 ) : ( 4 \times 3 ) = 15 : 12 \\[3px]

পনির : তপন : রবিন = 20 : 15 : 12 \\[3px]

ধরি, পনির, তপন এবং রবিনের আয় যথাক্রমে 20x, 15x, 12x টাকা। \\[3px]

এখন, পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, 20x = 120 \\[3px]

বা, x = \frac {120} {20}

\therefore x = 6 \\[7px]

রবিনের আয় = 12x = 12 \times 6 = 72 টাকা \bm { \left[ Ans.\right] }

আসল, P = ৪৫০ টাকা \\[3px]

মুনাফার হার, r = ৬% = \frac {৬} {১০০} \\[3px]

সুদ-আসল, A = ৫৫৮ টাকা \\[3px]

এবং সময়, n = ? \\[7px]

আমরা জানি, \\[3px]

A =( I + P ) \\[3px]

বা, I = ( A – P ) = ( ৫৫৮ – ৪৫০) টাকা = ১০৮ টাকা \\[7px]

সরল মুনাফা, I = Prn \\[3px]

বা, Prn = I \\[3px]

বা, n = \frac {I} {Pr} \\[5px]

বা, n = \frac {১০৮} {৪৫০ \times \frac {৬} {১০০} } \\[5px]

বা, n = \frac {১০৮} {\frac {২৭০০} {১০০} } \\[5px]

বা, n = ১০৮ \times \frac {১০০} {২৭০০} \\[5px]

বা, n = \frac {১০৮০০} {২৭০০} \\[5px]

\therefore n = ৪ \\[7px]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ৪ বছর।