10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math HSC 1st Paper Chapter 01: ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক অ্যাডজয়েন্ট, ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Adjoint, Singular & Non-singular Matrix)

অ্যাডজয়েন্ট, ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Adjoint, Singular & Non-singular Matrix)

অ্যাডজয়েন্ট (Adjoint Matrix) , ব্যতিক্রমী (Singular Matrix) ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Non-singular Matrix) কাকে বলে?

ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular and Non-singular Matrix)

যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ণায়ক A বা det(A)=0 হয় তবে A কে ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular Matrix) বলে। আবার যদি নির্ণায়ক A বা det(A)≠0 হয় তবে A ম্যাট্রিক্সকে অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Non-singular Matrix) বলে।

উদাহরণ: A=[74148]A=\begin{bmatrix} 7 & 4\\ 14 & 8 \end{bmatrix} এবং [561013]\begin{bmatrix} 5 & 6\\ 10 & 13 \end{bmatrix}

এখানে ∣A∣=∣74148∣=56−56=0|A|=\begin{vmatrix} 7 & 4\\ 14 & 8 \end{vmatrix}=56-56=0 সুতরাং A হলো ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স। 

এবং ∣B∣=∣561013∣=65−60=5≠0|B|=\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 10 & 13 \end{vmatrix}=65-60=5 \neq 0 সুতরাং B হলো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।

বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Inverse matrix of a square matrix)

দুইটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফল যদি একক ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে এদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অর্থাৎ যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর জন্য একটি একই ক্ৰমের বর্গ ম্যাট্রিক্স B থাকে যেন AB=BA=I হয়, (যেখানে I হলো একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স) তবে B ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে A−1A^{-1} দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

অপরপক্ষে A ম্যাট্রিক্সকেও B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে। 

উল্লেখ্য যে, শুধু অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।

উদাহরণ: A=[−52232−1]A=\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix} ও B=[2435]B=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix} হলে, AB=[−52232−1][2435]=[−5+6−10+103−36−5]=[1001]AB=\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5+6 & -10+10\\ 3-3 & 6-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

এবং BA=[2435][−52232−1]=[−5+64−4−52+1526−5]=[1001]BA=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5+6 & 4-4\\ \frac{-5}{2}+\frac{15}{2} & 6-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

এখানে AB=BA=I 

সুতরাং, A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স B এবং B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স A অর্থাৎ A = B’ এবং B=A।

দ্রষ্টব্য: দুই ক্ৰমের বর্গাকার ম্যাট্রিক্স : [abcd]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স 1ad−bc[d−b−ca]\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}  

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix)

যদি কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স A=(aij)n×snA=(a_{ij})_{n\times sn} এবং CijC_{ij}, A ম্যাট্রিক্সের উপাদানের সহগুণক হয় তবে A ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর অনুরূপ সহগুণক নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের বিম্ব ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix) বলে। ইহাকে adj(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ 

adj(A)=[Cij]n×nT=[Cij]n×nadj(A)=[C_{ij}]_{n\times n}^T=[C_{ij}]_{n\times n}

∴(adjA)ij=Cij=A\therefore (adj A)_{ij}=C_{ij}=Aম্যাট্রিক্সের aija_{ij} উপাদানের সহগুণক। 

অর্থাৎ যদি A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} হয় তবে adj(A)=[C11C12C13C21C22C23C31C32C33]adj(A)=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}

যেখানে Cij,AC_{ij},A ম্যাট্রিক্সের aija_{ij} উপাদানের সহগুণক।

C11=[a22a23a32a33]=a22a33−a23a32C12=−[a21a23a31a33]=a21a23−a33a21C13=[a21a22a31a32]=a21a32−a22a31C21=−[a12a13a32a33]=a13a32−a12a33C22=[a11a13a31a33]=a11a33−a13a31C23=−[a11a12a31a32]=a12a31−a11a32C31=[a12a13a22a23]=a12a23−a22a13C32=−[a11a13a21a23]=a13a21−a11a23C33=[a11a12a21a22]=a11a22−a12a21C_{11}=\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\\ C_{12}=-\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{21}a_{23}-a_{33}a_{21}\\ C_{13}=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\\ C_{21}=-\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{13}a_{32}-a_{12}a_{33}\\ C_{22}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\\ C_{23}=-\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}=a_{12}a_{31}-a_{11}a_{32}\\ C_{31}=\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13}\\ C_{32}=-\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{bmatrix}=a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23}\\ C_{33}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

 

ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স

অ্যাডজয়েন্ট (Adjoint Matrix) ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য:

  1. যদি A, n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে A(adjA)=(adjA)A=∣A∣InA(adjA)=(adjA)A=|A|I_n
  2. যদি A, n ক্রমের ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে A(adjA)=(adjA)A=0A(adjA)=(adjA)A=0 (শুন্য ম্যাট্রিক্স)
  3. যদি A, n ক্রমের অব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে ∣adjA∣=∣A∣n−1|adjA|=|A|^{n-1}

 

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics