একঘাত সমীকরণ জোট ও সমাধান নির্ণয় (System of linear equation and it’s Solution)

একঘাত সমীকরণ জোট ও সমাধান নির্ণয় (System of linear equation and its Solution)

একঘাত সমীকরণ জোট (System of linear equations)

a_1x_1+a_2x_2+.....+a_nx_n=b কে x_1,x_2,......,x_n চলকের একঘাত সমীকরণ বলা হয়, যেখানে a_1,a_2,......,a_n ধ্রুবক। এইরূপ একাধিক একঘাত সমীকরণকে একত্রে একঘাত সমীকরণ জোট বলা হয়। 

নির্ণায়কের সাহায্যে সমসংখ্যক চলক ও সমীকরণবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। সমাধান নির্ণয়ের এই পদ্ধতি ১৭৫০ খ্রিষ্টাব্দে গ্যাবিয়েল ক্রেমার প্রতিষ্ঠা করেন বিধায় একে ক্রেমারের নিয়ম (Cramer’s Rule) বলা হয়।   

ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোট ও সমাধান (Solution of system of linear equations using cramer’s rule)

দুই চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের ক্ষেত্রে-  

মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট : a_1x+b_1y=c_1......(i)\\ a_2x+b_2y=c_2......(ii)

এখানে, x ও এর y সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক, D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \neq 0

x এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}

এবং y এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}

বজ্রগুণন সূত্রানুসারে, \frac{x}{-b_1c_2+b_2c_1}=\frac{y}{-c_1a_2+c_2a_1}=\frac{1}{a_1b_2+a_2b_1}

বা, \frac{x}{\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_1 \end{vmatrix}}=\frac{y}{\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}=\frac{1}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}

বা, \frac{x}{D_x}=\frac{y}{D_y}=\frac{1}{D}

\therefore x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D} হতে x,y  এর মান অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। 

তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের ক্ষেত্রে-  

মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট : a_1x+b_1y+c_1z=d_1......(i)\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2......(ii)\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3......(iii)

∴ আমরা পাই, \frac{x}{D_x}=\frac{y}{D_y}=\frac{z}{D_z}=\frac{1}{D}

এখানে, D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\neq 0; x,y,z সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক।

D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2\\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} ; x এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক। 

আবার D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2\\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} ; y এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক। 

এবং D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} ;z এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক। 

\therefore x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D}, z=\frac{D_z}{D} হতে x,y,z  এর মান অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। 

দ্রষ্টব্য : যদি D≠0  হয়, তবে সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান বিদ্যমান। কেবল D≠0  শর্তেই ক্রেমারের নিয়ম প্রযোজ্য।   

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ  জোটের সমাধান (Solution of system of linear equations using inverse matrix)

মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট: a_1x+b_1y+c_1z=d_1......(i)\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2......(ii)\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3......(iii)

সমীকরণ জোটটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখে পাই, \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3 \end{bmatrix}

\Rightarrow AX=B যেখানে  A=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স, X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} এবং B=\begin{bmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3 \end{bmatrix}

\therefore X=A^{-1}B হতে ম্যাট্রিক্স সমতা প্রয়োগ করে x,y,z মান পাওয়া যায়।