নির্ণায়কের ধর্ম ও অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স (Properties Of Determinant & Adjoint Matrix)
নির্ণায়কের মৌলিক ধর্মসমূহ (Properties of Determinant)
- যদি কোন নির্ণায়কের কোন সারির (কলামের) উপাদানগুলো শূন্য হয় তবে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। যেমন: D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0\\ a_2 & b_2 & 0\\ a_3 & b_3 & 0 \end{vmatrix}=0
- নির্ণায়কের সারি এবং কলাম সমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের মানের কোন পরিবর্তন হয় না। যেমন: D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} এবং D'=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}, \therefore D=D'
- নির্ণায়কের পাশাপাশি দুইটি কলাম (সারি) পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কিন্তু সংখ্যামান অপরিবর্তিত থাকে।
যেমন: D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} b_1 & a_1 & c_1\\ b_2 & a_2 & c_2\\ b_3 & a_3 & c_3 \end{vmatrix} এবং D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_2 & b_2 & c_2\\ a_1 & b_1 & c_1\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
4. যদি কোন নির্ণায়কের দুইটি কলাম (সারি) অভিন্ন হয় তবে, নিৰ্ণায়কের মান শুন্য হবে।
যেমন: D=\begin{vmatrix} a_1 & 1 & 1\\ a_2 & 1 & 1\\ a_3 & 1 & 1 \end{vmatrix} এবং D'=\begin{vmatrix} a_1 & a_1 & c_1\\ a_2 & a_2 & c_2\\ a_3 & a_3 & c_3 \end{vmatrix}=0
5. কোন নির্ণায়কের যে কোন সারি (কলাম)-এর উপাদানগুলোকে তাদের নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুণ করে গুণফলগুলোর সমষ্টি নিলে নির্ণায়কের মান পাওয়া যায়।
6. যদি নিৰ্ণায়কের কোন সারি (কলাম)-এর উপাদানগুলোকে অপর একটি সারি (কলাম)-এর অনুরূপ উপাদানের সহগুণক দ্বারা গুণ করা হয় তাহলে, গুণফলগুলোর সমষ্টি শূন্য হবে।
যেমন: a_2A_1+b_2B_1+c_2C_1=0\\ a_2B_1+a_2B_2+a_3B_3=0 ইত্যাদি…
7. নির্ণায়কের কোন সারি (কলাম)-এর প্রত্যেকটি উপাদানকে কোনো স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নিৰ্ণায়কের মানকেও সেই স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়।
যেমন: D=k\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} ka_1 & kb_1 & kc_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} ka_1 & b_1 & c_1\\ ka_2 & b_2 & c_2\\ ka_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
8. নির্ণায়কের কোনো সারি(কলাম)-এর উপাদানগুলো অন্য একটি সারি(কলাম)-এর অনুরূপ উপাদানগুলোর m গুণের সমান হলে, নিৰ্ণায়কের মান শূন্য হবে।
9. যদি কোনো নির্ণায়কের কোনো সারি (কলাম)-এর প্রতিটি উপাদান দুটি পদ নিয়ে গঠিত হয় তাহলে, নির্ণায়কটি অপর দুইটি নির্ণায়কের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে।
যেমন: D=k\begin{vmatrix} a_1+1 & b_1 & c_1\\ a_2+1 & b_2 & c_2\\ a_3+1 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & b_1 & c_1\\ 1 & b_2 & c_2\\ 1 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
10. নির্ণায়কের কোন সারি (কলাম)-এর প্রতিটি উপাদান অন্য একটি সারি (কলাম)-এর অনুরূপ উপাদানের একই গুণিতক দ্বারা বৃদ্ধি বা হ্রাস করা হলে, নির্ণায়কের মানের কোন পরিবর্তন হয় না।
অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix)
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক |A| এর সহগুণক দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং এ ম্যাট্রিক্সকে Adj A দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}
adj A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}যেখানে A_{ij} হচ্ছে (i, j) তম সহগুণক (a_{ij} তম ভুক্তির সহগুণক)
উদাহরণ : A=\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix) নির্ণয় কর।
A=\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} হলে, A_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{vmatrix}, A_{12}=\begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -1 \end{vmatrix},A_{13}=\begin{vmatrix} -2 & 1\\ -1 & -1 \end{vmatrix},A_{21}=\begin{vmatrix} -4 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}, A_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}, A_{23}=\begin{vmatrix} 1 & -4\\ -1 & -1 \end{vmatrix}, A_{31}=\begin{vmatrix} -4 & 2\\ 1 & 0 \end{vmatrix}, A_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -2 & 0 \end{vmatrix}, A_{33}=\begin{vmatrix} 1 & -4\\ -2 & 0 \end{vmatrix}
adj A=\begin{bmatrix} 1+0 & -(-2+0) & 2+1\\ -(-4+2) & 1+2 & -(-1-4)\\ 0-2 & -(0+4) & 1-8 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ -2 & -4 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 3 & -4\\ 3 & 5 & -7 \end{bmatrix}