অ্যাডজয়েন্ট, ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Adjoint, Singular & Non-singular Matrix)

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix)

যদি কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স $A=(a_{ij})_{n\times sn}$ এবং $C_{ij}$ , A ম্যাট্রিক্সের উপাদানের সহগুণক হয় তবে A ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর অনুরূপ সহগুণক নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের বিম্ব ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix) বলে। ইহাকে adj(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ

adj(A)=[C_{ij}]_{n\times n}^T=[C_{ij}]_{n\times n}

$\therefore (adj A)_{ij}=C_{ij}=A$ ম্যাট্রিক্সের $a_{ij}$ উপাদানের সহগুণক।

অর্থাৎ যদি $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ হয় তবে $adj(A)=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}$

যেখানে $C_{ij},A$ ম্যাট্রিক্সের $a_{ij}$ উপাদানের সহগুণক।

C_{11}=\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\\ C_{12}=-\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{21}a_{23}-a_{33}a_{21}\\ C_{13}=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\\ C_{21}=-\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{13}a_{32}-a_{12}a_{33}\\ C_{22}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\\ C_{23}=-\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}=a_{12}a_{31}-a_{11}a_{32}\\ C_{31}=\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13}\\ C_{32}=-\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{bmatrix}=a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23}\\ C_{33}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

অ্যাডজয়েন্ট (Adjoint Matrix) ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য:

যদি A, n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে $A(adjA)=(adjA)A=|A|I_n$
যদি A, n ক্রমের ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে $A(adjA)=(adjA)A=0$ (শুন্য ম্যাট্রিক্স)
যদি A, n ক্রমের অব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে $|adjA|=|A|^{n-1}$

ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular and Non-singular Matrix)

যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ণায়ক A বা det(A)=0 হয় তবে A কে ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular Matrix) বলে। আবার যদি নির্ণায়ক A বা det(A)≠0 হয় তবে A ম্যাট্রিক্সকে অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Non-singular Matrix) বলে।

উদাহরণ: $A=\begin{bmatrix} 7 & 4\\ 14 & 8 \end{bmatrix}$ এবং $\begin{bmatrix} 5 & 6\\ 10 & 13 \end{bmatrix}$

এখানে $|A|=\begin{vmatrix} 7 & 4\\ 14 & 8 \end{vmatrix}=56-56=0$ সুতরাং A হলো ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।

এবং $|B|=\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 10 & 13 \end{vmatrix}=65-60=5 \neq 0$ সুতরাং B হলো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।

বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Inverse matrix of a square matrix)

দুইটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফল যদি একক ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে এদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অর্থাৎ যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর জন্য একটি একই ক্ৰমের বর্গ ম্যাট্রিক্স B থাকে যেন AB=BA=I হয়, (যেখানে I হলো একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স) তবে B ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে $A^{-1}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

টেন মিনিট স্কুলের “HSC 22 শেষ মুহূর্তের প্রস্তুতি” কোর্সে এনরোল করতে ক্লিক করো এই লিংকে!

এনরোল করো

অপরপক্ষে A ম্যাট্রিক্সকেও B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

উল্লেখ্য যে, শুধু অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।

উদাহরণ: $A=\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}$ ও $B=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ হলে, $AB=\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5+6 & -10+10\\ 3-3 & 6-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

এবং $BA=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{-5}{2} & 2\\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5+6 & 4-4\\ \frac{-5}{2}+\frac{15}{2} & 6-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

এখানে AB=BA=I

সুতরাং, A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স B এবং B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স A অর্থাৎ A = B’ এবং B=A।

দ্রষ্টব্য: দুই ক্ৰমের বর্গাকার ম্যাট্রিক্স : $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

অ্যাডজয়েন্ট, ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Adjoint, Singular & Non-singular Matrix)