দুইটি অসমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী কোণ, দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব, সমান্তরাল এবং লম্ব হওয়ার শর্ত

দুইটি অসমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী কোণ (Angle between two non-parallel straight lines)

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করতে হবে। 

1. মনে করি, AB ও AC সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ \theta ;

তাহলে,   \angle B A C=\theta

মনে করি, \angle A B X=\theta_1  এবং \angle A C X=\theta_2 এবং \theta_1 > \theta_2     

\therefore \theta=\theta_{1}-\theta_{2} \quad \cdots \quad \ldots \quad \ldots \text { (i) }

AB ও AC সরলরেখা দুইটির সমীকরণ 

মনে করি,  y=m_{1} x+c_{1} \text { এবং } y=m_{2} x+c_{2}

তাহলে \tan \theta_{1}=m_{1} \text { এবং } \tan \theta_{2}=m_{2}   

(i) নং থেকে পাই,  \tan \theta=\tan \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)

=\frac{\tan \theta_{1}-\tan \theta_{2}}{1+\tan \theta_{1} \tan \theta_{2}}

অর্থাৎ, \tan \theta=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}} . এই সূত্র হতে এর মান নির্ণয় করা যায়। 

নোটঃ \theta_{2}>\theta_{1} \text { হলে, } \theta=\theta_{2}-\theta_{1}=-\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)

\therefore \tan \theta=\tan \left\{-\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right\}=-\tan \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) =-\frac{\tan \theta_{1}-\tan \theta_{2}}{1+\tan \theta_{1} \tan \theta_{2}} =-\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}

সুতরাং আমরা পাই,    \tan \theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}

\tan \theta এর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক মান যথাক্রমে রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ ও স্থূলকোণের মান নির্দেশ করে।  

1. যদি দুইটি সরলরেখার সমীকরণ a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0  এবং a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0  হয়, তবে তা সমীকরণদ্বয়কে ঢালের সমীকরণ আকারে প্রকাশ করে পাই, 

y=-\frac{a_{1}}{b_{1}} \times-\frac{c_{1}}{b_{1}}

এবং, y=-\frac{a_{2}}{b_{2}} \times-\frac{c_{2}}{b_{2}}

এখানে রেখা দুইটির ঢাল যথাক্রমে, 

m_{1}=-\frac{a_{1}}{b_{1}} \text { এব०, } m_{2}=-\frac{a_{2}}{b_{2}} \therefore \tan \theta=\pm \frac{-\frac{a_{1}}{b_{2}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}}{1+\frac{a_{1} a_{2}}{b_{1} b_{2}}} =\pm \frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}

দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত (Condition of perpendicular of two straight lines) 

দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হচ্ছে, এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমকোণ হওয়া অর্থাৎ \theta_{2}=\theta_{1}+90^{\circ} অথবা  \theta_{1} = \theta_{2} + 90^{\circ}  যখন (যথাক্রমে) \theta_{2}>\theta_{1} \text { বা } \theta_{1}>\theta_{2}

এখন, m_{2}=\tan \theta_{2}=\tan \left(\theta_{1}+90^{\circ}\right)=-\cot \theta_{1}=-\frac{1}{m_{1}}

অথবা, m_{1}=\tan \theta_{1}=\tan \left(\theta_{2}+90^{\circ}\right)=-\cot \theta_{2}=-\frac{1}{m_{2}}  হবে। 

m_{1} m_{2}=-1 \quad \ldots \quad \ldots

অনুরূপভাবে, a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0

এবং a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0  রেখা দুইটির লম্ব হওয়ার শর্ত হলো 

\left(-\frac{a_{1}}{b_{1}}\right)=\left(-\frac{a_{2}}{b_{2}}\right)=-1

বা,  a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0

অতএব, দেখা যাচ্ছে যে, দুইটি রেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হচ্ছে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল -1 হতে হবে। পরস্পর লম্বরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নিম্নলিখিতভাবে লেখা যায়। 

1.     \mathrm{y}=m_{1} \mathrm{x}+c_{1} \text { এবং } \mathrm{y}=-\frac{1}{m} x+c_{2}

কারণ, m_{1} m_{2}=\left(-\frac{1}{m_{1}}\right)=-1

একটি সরলরেখার ঢাল m হলে, 

তার উপর লম্বরেখার ঢাল - \frac{1}{m}=  হবে, 

1.     \mathrm{ax}+\mathrm{by}+c_{1}=0

এবং \mathrm{bx}+\mathrm{ay}+c_{2}=0

কারণ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=a b+b(-a)=a b-a b=0

iii.    3 x-2 y=5 \text { এবং } 2 x+3 y=7

কারণ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=3 \times 2+(-2) \times 3

= 6 – 6 = 0

অতএব, দেখা যাচ্ছে যে, একটি রেখার সমীকরণে ও এর সহগ দুইটি পরস্পর পরিবর্তন করার পর, এদের যে কোনো একটির চিহ্ন পরিবর্তন করে, ধ্রুবক পদটিকে ইচ্ছেমতো পরিবর্তন করে নিলে প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব অপর একটি রেখার সমীকরণ পাওয়া যায়। 

দুইটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল এবং লম্ব হওয়ার শর্ত (Condition of parallel and perpendicular of two straight lines)

দুইটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে, যদি ও কেবল যদি তারা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ রেখাদ্বয়ের ঢালের মান সমান হয়।  

সুতরাং, y = m_{1} x + c_{1}

এবং  y = m_{2} x + c_{2}  রেখা দুইটির সমান্তরাল হওয়ার শর্ত \theta_1 = \theta_2

সুতরাং, \tan \theta_1 = \tan \theta_2

বা,  m_{1} = m_{2}

অনুরূপভাবে, a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 

এবং a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0  রেখা দুইটির সমান্তরাল হওয়ার শর্ত -\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}

বা,  \frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}

উপরের সম্পর্কগুলি থেকে এটা পরিষ্কার যে, দুইটির সমান্তরাল রেখাকে নিম্নলিখিতভাবে লেখা চলে, যেহেতু তাদের ঢাল সমান।

1. \mathrm{y}=\mathrm{m} \mathrm{x}+\mathrm{c}_{1} \quad \text { এবং } \mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}_{2}
2. \mathrm{ax}+\mathrm{by}+c_{1}=0 \quad \text { এবং } \mathrm{ax}+\mathrm{by}+c_{2}=0

3.  4 x-3 y=7 \quad \text { এবং } 4 x-3 y=12

অতএব, দেখা যাচ্ছে যে, দুইটি সরলরেখা সমীকরণে যদি কেবল তাদের ধ্রুবক পদটি ভিন্ন হয় তবে তারা এক জোড়া সমান্তরাল সরলরেখা জ্ঞাপন করে। অতএব, একটি সরলরেখা সমীকরণে x ও y এর সহগ স্থির রেখে তার ধ্রুবক পদটি ইচ্ছেমতো পরিবর্তন করলে একটি রেখার সমীকরণ পাওয়া যায়।