10 Minute School
Log in

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Triangle)

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক দেয়া আছে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

মনে করি, \Delta ABC  এর শীর্ষবিন্দুগুলি \left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)

A, B, C বিন্দু থেকে x – অক্ষের উপর যথাক্রমে AM, \mathrm{BL}, \mathrm{CN} লম্ব আঁকি। তাহলে, L N=O N-O L=x_{3}-x_{2} 

L M=O M-O L=x_{1}-x_{2} 9 এবং M N=O N-O M=x_{3}-x_{1}

∴ ∆ABC এর ক্ষেত্রফল, ট্রাপিজিয়াম ABLM এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম AMNC এর ক্ষেত্রফল – ট্রাপিজিয়াম BLNC এর ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}(A M+B L) \cdot L M+\frac{1}{2}(A M+C N) \cdot M N-\frac{1}{2}(B L+C N) \cdot L N =\frac{1}{2}\left\{\left(y_{1}+y_{2}\right) \cdot\left(x_{1}-x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{3}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)-\left(y_{2}+y_{3}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\right\}

=\frac{1}{2}\left\{x_{1}\left(y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{2}+y_{3}-y_{1}-y_{2}\right)+x_{3}\left(y_{1}+y_{3}-y_{2}-y_{3}\right)\right\}

\therefore \Delta A B C এর ক্ষেত্রফল, =\frac{1}{2}\left\{x_{1}\left(y_{2}-y_{1}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right\} 

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|  [নির্ণায়কের সাহায্যে প্রকাশ করে]………(ii)

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{llll}x_{1} & -x_{2} & x_{3} & -x_{1} \\ y_{1} & -y_{2} & y_{3} & -y_{1}\end{array}\right|\\ =\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}|+| \begin{array}{ll}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3}\end{array}|+| \begin{array}{ll}x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1}\end{array} \mid\right\}\\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{llll}x_{1} & -x_{2} & x_{3} & -x_{1} \\ y_{1} & -y_{2} & y_{3} & -y_{1}\end{array}\right|\\

=\frac{1}{2}\left\{\left|\begin{array}{ll}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1}\end{array}\right|\right\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (iii)

তদ্রুপ, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right), D\left(x_{4}, y_{4}\right) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}\left\{\left|\begin{array}{ll} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{4} & y_{4} \\ x_{1} & y_{1} \end{array}\right|\right\} . . (iii)

নির্ণায়কের সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সময় শীর্ষবিন্দুগুলি ঘড়ির কাটার উল্টা দিকে বা ঘড়ির কাটার দিকে নিলে ক্ষেত্রফল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত হবে। কিন্তু পরমমান একই হবে।

 

এখানে,  \delta_{A B C}=\left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right|

=\left|\begin{array}{llll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{1} \end{array}\right| \therefore \Delta A B C=\frac{1}{2} \delta_{A B C}

              =\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+x_{3} y_{1}-y_{1} x_{2}-y_{2} x_{3}-y_{3} x_{1}\right|

              =\frac{1}{2}\left|\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{2}-y_{3}\right)-\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)\right|

\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{3}, y_{3}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots\left(x_{n}, y_{n}\right) শীর্ষ দ্বারা গঠিত বহুভুজের ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lllllll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & \ldots & \ldots & x_{n} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & \cdots & \cdots & \cdots & y_{n} & y_{1} \end{array}\right| =\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+\cdots x n y_{1}-y_{1} x_{2}-y_{2} x_{3}-\cdots y n x_{1}\right|
  • \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে যদি ও কেবল যদি এ বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়। 

অর্থাৎ, \delta_{A B C}=0

\Rightarrow\left|\begin{array}{llll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{1} \end{array}\right|=0

(a) C এবং D বিন্দু দুইটি AB রেখার একই পার্শে হলে,

\delta_{A B C} \times \delta_{A B D}> 0

(b) C এবং D বিন্দু দুইটি AB রেখার বিপরীত পার্শে হলে,

\delta_{A B C} \times \delta_{A B D} < 0
  • AB রেখাটি CD রেখাংশের E বিন্দুতে m_{1}: m_{2} অনুপাতে বিভক্ত করলে,

\frac{C E}{D E}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\delta_{A B C}}{\delta_{A B D}}

প্রমান, AB এর উপর CN ও DM লম্ব হলে,  \Delta C N E \text { ও } \Delta D M E  সদৃশ।

\therefore \frac{C N}{D M}=\frac{C E}{D E}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \quad \therefore \frac{\Delta A B C}{\Delta A B D}=\frac{\frac{1}{2} \delta_{A B C}}{\frac{1}{2} \delta_{A B D}}

                                          \Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\delta_{A B C}}{\delta_{A B D}}  অনুপাত যথাক্রমে (-) ও (+) এর জন্য AB রেখাটি CD রেখাংশকে E বিন্দুতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত করবে।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় (Centroid of Triangle)

মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) \text { এবং } C\left(x_{3}, y_{3}\right) ; ; BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F. এখন AD, BE, CF মধ্যমাত্রয় অঙ্কন করলে তারা পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করবে। G বিন্দুটিকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলা হয় এবং তা প্রত্যেক মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

এখন BC এর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাংক \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)

ধরি G এর স্থানাংক (x, y).     ∴  AG : GD = 2 : 1

\therefore \mathrm{x}=\frac{2 \cdot \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1 \cdot x_{1}}{2+1}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

এবং, y=\frac{2 \cdot \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1 \cdot y_{1}}{2+1}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

সুতরাং, \Delta ABC  এর ভরকেন্দ্র \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)