নির্দিষ্ট রেখার সাপেক্ষে বিন্দু ও রেখাংশের প্রতিচ্ছবি
(Image of a point and a straight line with respect to a definite straight line)
আমি যদি আয়নার সামনে একটি কলমকে ধরি সেক্ষেত্রে লক্ষ্য করা যায় যে, আয়নার পৃষ্ঠ থেকে ঠিক যত দূরে কলমটি অবস্থান করছে কলমের প্রতিচ্ছবিও আয়নার পৃষ্ঠ থেকে ঠিক ততটা ভিতরে অবস্থান করছে (এটি পরিমাপযোগ্য না হলেও দৃষ্টি দ্বারা বুঝা যায়)। এখন কলমের পরিবর্তে একটি বিন্দু এবং আয়নার পৃষ্ঠ সমতলে একটি সরলরেখার সাপেক্ষে বিষয়টি বিবেচনা করলেও একই হবে।
“একটি নির্দিষ্ট রেখার সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর প্রতিচ্ছবি নির্ণয়ে করতে হলে রেখা বরাবর কাগজটি ভাঁজ করলে বিন্দুটি কাগজের অপর পার্শ্বে যে বিন্দুতে স্পর্শ করবে সে বিন্দুই প্রথম বিন্দুর প্রতিচ্ছবি।”
মনে করি, a x+b y+c=0 \text { (i) } সরলরেখার সাপেক্ষে P \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুর প্রতিচ্ছবি P^{\prime}\left(x_{2}, y_{2}\right) নির্ণয় করতে হবে।
(i) নং সরলরেখার ঢাল = - \frac{a}{b}
এটা স্পষ্ট যে, PP‘ রেখা (i) নং রেখার উপর লম্ব এবং R বিন্দু PP’ এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং PP’ রেখার ঢাল = \frac{a}{b} : সুতরাং PP’ রেখার সমীকরণ y-y_{1}=\frac{b}{a}\left(x-x_{1}\right) মনে করি, R বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( \alpha, \beta ) [ R হলো (i) নং ও PP’ রেখার ছেদ বিন্দু ]
সুতরাং, \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=(\alpha, \beta)
\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\alpha \quad \text { এবং, } \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\beta \therefore x_{2}=2 \alpha-x_{1} \quad \text { বা, } y_{2}=2 \beta-y_{1}\therefore \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুর প্রতিচ্ছবি \left(2 \alpha-x_{1}, 2 \beta-y_{1}\right)
দ্রষ্টব্য : ১. রেখার সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিচ্ছবি নির্ণয়ের সময় মনে রাখতে হবে।
২. কোনো বিন্দু ও তার প্রতিচ্ছবি বিন্দু সর্বদাই প্রতিফলন রেখা থেকে সমদূরবর্তী।
৩. কোনো বিন্দু ও তার প্রতিচ্ছবি বিন্দু বরাবর সংযোগ রেখা সর্বদাই প্রতিফলন রেখার উপর লম্ব ।
কোনো নির্দিষ্ট রেখার সাথে রেখাংশের প্রতিচ্ছবি : একটি রেখার সাপেক্ষে আরেকটি রেখার প্রতিচ্ছবি এমন এক ধরনের রূপান্তর যাতে একটি রেখায় অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর প্রতিচ্ছবি এবং বিন্দুগুলো পরস্পর লম্বভাবে প্রতিফলন রেখা হতে সমদূরবর্তী। প্রতিফলক রেখা প্রতিটি বিন্দু ও বিন্দুর প্রতিচ্ছবির সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক। রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু ও মধ্যবর্তী কোণ হতে কোনো নির্দিষ্ট রেখার প্রতিচ্ছবির সমীকরণ পাওয়া যায় ।
L_{1} \equiv a x+b y+c=0 রেখার সাপেক্ষে L_{2} \equiv a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 রেখার প্রতিচ্ছবি নির্ণয় করতে হবে।
মনে করি, L_{1} রেখার সাপেক্ষে L_{2} রেখার প্রতিচ্ছবি L_{3} \equiv a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0/katex] </span><span style="font-weight: 400;">এবং [katex] \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2} ও L_{3} রেখার ঢাল যথাক্রমে \mathrm{m}_{1}, \mathrm{~m}_{2} \text { ও } \mathrm{m}_{3}
\therefore \tan \varphi_{12}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}} \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (i) }\therefore L_{2} রেখার প্রতিচ্ছবি L_{3} ও L_{1} রেখার মধ্যবর্তী কোণ \pi-\varphi_{12}
\therefore \tan \varphi\left(\pi-\varphi_{12}\right)=\frac{m_{3}-m_{1}}{1+m_{1} m_{3}}বা, -\tan \varphi_{12}=\frac{m_{3}-m_{1}}{1+m_{1} m_{3}} \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (ii) }
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
-\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}=\frac{m_{3}-m_{1}}{1+m_{1} m_{3}} \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (iii) }iii) নং সমীকরণ সমাধান করলে m_{3} এর মান পাওয়া যাবে।
আবার, L_{1}, L_{2} রেখার ছেদবিন্দু ( x_{1}, y_{1} ) হলে L_{3} রেখার সমীকরণ,
y-y_{1}=m_{3}\left(x-x_{1}\right) \ldots \ldots \ldots \text { (iv) } [যেহেতু L_{1} L_{2} \text { ও } L_{3} সমবিন্দু]
উদাহরণ : 2 x-y+1=0 সরলরেখার সাপেক্ষে x+y-2=0 সরলরেখার প্রতিচ্ছবির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, L_{1} \equiv 2 x-y+z=0
এবং, L_{2} \equiv x+y-2=0
ধরি, \mathrm{L}_{1} ও \mathrm{L}_{2} রেখার মধ্যবর্তী কোণ \varphi_{12}
L_{1} \text{ ও } L_{2} সরলরেখাদ্বয়ের ঢাল যথাক্রমে,
m_{1}=2 ও m_{2}=-1
\therefore \tan \varphi_{12}=\frac{-1-2}{1+(-1) \cdot 2}=3আবার, L_{1} \text{ ও } L_{3} রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \pi-\varphi_{12} ও L_{3} রেখার ঢাল m_{3} হলে,
\tan \left(\pi-\varphi_{12}\right)=\frac{m_{3}-2}{1+2 m_{3}}বা, -\tan \varphi_{12}=\frac{m_{3}-2}{1+2 m_{3}}
বা, -3=\frac{m_{3}-2}{1+2 m_{3}}
বা, -3-6 m_{3}=2 m_{3}
বা, 7 m_{3}=-3+2
\therefore m_{3}=\frac{-1}{7}আবার, বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই L_{1} ও L_{2} রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \left(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)
\therefore L_{1} রেখার সাপেক্ষে L_{2} রেখার প্রতিচ্ছবির সমীকরণ,
y-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)বা, 3 y-5=-\frac{1}{7}(3 x-1)
বা, 21 y-35=-3 x+1
- একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) হলে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমত্রিখণ্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয়, তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
মনে করি, \Delta A B C এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য BC= a, CA = b এবং AB = c. \angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B} \text{ ও} \angle \mathrm{C} এর সমদ্বিখণ্ডক AI, BI ও CI পরস্পর I বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং I ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
এখন AI কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের শীর্ষ কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা তার বিপরীত বাহুকে যে অনুপাতে ছেদ করে তা সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের অনুপাতের সমান।
অর্থাৎ, BD : CD = AB : AC = c : b
এখানে, ∆ABC এর শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) \text{ এবং }C\left(x_{3}, y_{3}\right) হলে
D বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \left(\frac{c x_{3}+b x_{2}}{c+d}, \frac{c y_{3}+b y_{2}}{c+d}\right)
আবার, \triangle \mathrm{ABC} -এ \mathrm{BI} \angle \mathrm{ABD} এর সমদ্বিখণ্ডক।
\therefore \frac{A I}{I D}=\frac{A B}{B D} \ldots \quad \cdots \quad \cdots \text { (i) }আবার, \triangle \mathrm{ACD} -এ \mathrm{BI} \angle \mathrm{ACD} এর সমদ্বিখণ্ডক।
\therefore \frac{A I}{I D}=\frac{A C}{C D} \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \text { (ii) }(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
\therefore \frac{A I}{I D}=\frac{A B}{B D}=\frac{A C}{C D}=\frac{A B+A C}{B D+C D} \therefore \frac{A I}{I D}=\frac{A B+A C}{B C} \therefore A I: I D=(c+b): a∴ I বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \left(\frac{(c+b) \frac{c x_{3}+b x_{2}}{(c+b)}+a \cdot x_{1}}{c+b+a}, \frac{(c+b) \frac{c y_{3}+b y_{2}}{(c+b)} a \cdot y_{1}}{c+b+a}\right)
=\left(\frac{a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}}{a+b+c}, \frac{a y_{1}+b y_{2}+c y_{3}}{a+b+c}\right)\therefore(x_{1}, y_{2}),(x_{2}, y_{2}) \text { এবং }(x_{3}, y_{3}) শীর্ষবিন্দুত্রয় দেয়া থাকলে ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র \left(\frac{a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}}{a+b+c}, \frac{a y_{1}+b y_{2}+c y_{3}}{a+b+c}\right)