বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ

Equation of straight lines under different conditions

দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ (The straight line drawn through intersection of two straight lines) 

একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে যা দুইটি নির্দিষ্ট সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।  

মনে করি, নির্দিষ্ট সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots    (i)

               এবং \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+k\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 \ldots \quad \ldots   (ii)

ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক ( x_{1},  y_{1} ) তাহলে, ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। 

                            a_{1} \mathrm{x}_{1}+b_{1} y_{1}+c_{1}=0   ….. …… …… (iii)

                     এবং   a_{2} \mathrm{x}_{1}+b_{2} y_{1}+c_{2}=0 …   …   …  (iv) 

এখন k কে ইচ্ছানুযায়ী যে কোন ধ্রুবক ধরে (iii) ও (iv) হতে আমরা পাই, 

                \left(a_{1} \widehat{x}_{1}+b_{1} y_{1}+c_{1}\right)+\mathrm{k}\left(a_{2} \mathrm{x}_{1}+b_{2} y_{1}+c_{2}\right)=0 \ldots \quad \ldots \text { (v) }

ইহা স্পষ্ট যে x_{1} \text{ এবং } y_{1} এর মান দ্বারা, \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+k\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 \ldots \quad \ldots \ldots (VI)

সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, যখন k যে কোন ইচ্ছা মূলক ধ্রুবক এবং k ≠ 0

যেহেতু (vi) নং সমীকরণটি x ও y সম্বলিত একঘাত সমীকরণ, সুতরাং উহা (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু। 

অর্থাৎ ( x_{1}, y_{1} ) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার বোঝায়। 

দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী নতুন সরলরেখার সমীকরণ, এক রেখা + k (অপর রেখা) = 0 এখানে k ঐচ্ছিক ধ্রুবক। 

নোটঃ k-কে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (k ≠ 0) ধরে যদি একগুচ্ছ সরলরেখার সমীকরণ, \left(a_{1} \times+b_{1} y+c_{1}\right) + k \left(a_{2} \times+b_{2} y+c_{2}\right) = 0 আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে গুচ্ছের সব কয়টি রেখাই একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে; অর্থাৎ \left(a_{1} \times+b_{1} y+c_{1}\right) = 0 এবং \left(a_{2} \times+b_{2} y+c_{2}\right) = 0  রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে। 

 

৩.১৬.২  একটি সরলরেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় (Equation of a line parallel to a straight line)

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সমান বলে তাদেরকে y=m x+c_{1}  এবং y=m x+c_{2}  অথবা  a x+b y+c_{1}=0  এবং a x+b y+c_{2}=0  আকারে লেখা যায়। 

স্পষ্ট যে, দুইটি রেখার সমীকরণে কেবল ধ্রুবক পদের পার্থক্য হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল হয়।  

সুতরাং, a x+b y+c=0  এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ a x+ b y = k  আকারে লেখা যায়;  

যেখানে k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক। 

• আবার, মনে করি, a x+b y+c=0  এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ a x+b y = k  …   … (i)

(i) রেখাটি ( \alpha, \beta ) বিন্দুগামী হলে আমরা পাই, a \alpha +b \beta = k

∴ (i) এ k এর মান বসিয়ে পাই, a x+ b y=a \alpha + b \beta

অনুসিদ্ধান্তঃ a x+b y+c=0  এর সমান্তরাল এবং ( \alpha, \beta ) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ    a x+ b y=a \alpha + b \beta

 

৩.১৬.৩  একটি সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় (Determine the 

Equation of a perpendicular line to a straight line)

y = mx + c এর লম্ব রেখার সমীকরণ কারণ, y=-\frac{1}{m} x+k ; যেখানে k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক। 

আবার, a x+ b y= c

বা, y=-\frac{a}{b} x+\frac{c}{b} এর লম্ব রেখার সমীকরণ y=\frac{b}{a} x+k_{1}

বা, b x-a y+a k_{1}=0

\therefore b \mathrm{x}-a y+k_{1}=0 \quad \ldots \quad \ldots \text { (ii)} যেখানে, \mathrm{k}_{1} \text { এবং } k=a k_{1} ধ্রুবক। 

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণে x ও y এর সহগ দুটি পরস্পর বিনিময় করে এদের যেকোনো একটির চিহ্ন এবং ধ্রুব পদের পরিবর্তন করলে ঐ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ পাওয়া যায়। 

সুতরাং, a x+b y+c=0  রেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ b x - a y+k=0

(ii) রেখাটি ( \alpha, \beta )  বিন্দুগামী হলে আমরা পাই, b \alpha - a \beta +k= 0

                                                                      বা, \mathrm{k}=-(b \alpha-a \beta)

∴ (ii) এ k এর মান বসিয়ে পাই, b x-a y-(b \alpha-a \beta)=0

                                            বা, b x-a y=b \alpha-a \beta

\therefore a x+b y+c=0 এর উপর লম্ব এবং ( \alpha, \beta )  বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ b x-a y=b \alpha-a \beta

৩.১৬.৪  তিনটি সরলরেখার একই বিন্দুতে ছেদ করার নির্ণেয় শর্ত (The condition that three straight lines are equilateral)

তিনটি সরলরেখা একবিন্দুতে ছেদ করলে তারা সমবিন্দু হয় এবং ঐ সাধারণ বিন্দুকে সম্পাত বিন্দু (Point of concurrence) বলা হয়।  

মনে করি, প্রদত্ত তিনটি যথাক্রমে a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots  (i) 

                                            a_{2} \mathrm{x}+b_{2} y+c_{2}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots (ii) 

                                            a_{3} \mathrm{x}+b_{3} y+c_{3}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots  (iii) 

যদি সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হয়, তাহলে যেকোন দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা তৃতীয় সরলরেখার সমীকরণ সিদ্ধ হবে। 

এখন বজ্রগুণন প্রণালী প্রয়োগ করে (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে, 

x=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}, y=\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} ; a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0

যদি (iii) নং সরলরেখাটি এই বিন্দু দিয়ে যায়, তাহলে, 

a_{3}\left(\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\right)+b_{3}\left(\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\right)+c_{3}=0

বা,   a_{3}\left(b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}\right)+b_{3}\left(c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}\right)+c_{3}\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)=0 

\therefore a_{3}\left(b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}\right)-b_{3}\left(c_{2} a_{1}-c_{1} a_{2}\right)+c_{3}\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) ; যা সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার নির্ণেয় শর্ত। 

উপরিউক্ত শর্তকে নির্ণায়ক \left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|=0  দ্বারা প্রকাশ করা যায়। 

নোটঃ তিনটি সরলরেখা দেওয়া থাকলে, রেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার শর্ত তাদের সহগগুলোর নির্ণায়কের মান শুন্য হবে।