সরল রেখা

সরল রেখা (Straight Line)

সমতলে পোলার স্থানাঙ্ক ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar co-ordinates on plane):

• স্থানাঙ্ক (Co-ordinates): কোন বিন্দু বা বস্তুর অবস্থান সুনির্দিষ্টভাবে নির্ণয়ের জন্য স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দু’ধরনের। যথা-

1. i) আয়ত বা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Rectangular/Cartesian Co-ordinate) ব্যবস্থা: পরস্পরচ্ছেদী লম্বভাবে অবস্থিত দুটি সরলরেখাকে নিয়ে যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তাকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বলে। এক্ষেত্রে অনুভূমিক রেখাকে x- অক্ষ এবং উলম্বরেখাকে y-অক্ষ ধরা হয় এবং অক্ষ দুটির ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু বলে। একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক P(x, y) বলতে বুঝায়, বিন্দুটি x-অক্ষ থেকে y- লম্ব দূরত্বে এবং y-অক্ষ থেকে x-লম্ব দূরত্বে অবস্থিত।
2. ii) পোলার স্থানাঙ্ক (Polar Co-ordinate) ব্যবস্থা: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুগামী একটি রেখাকে নিয়ে যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তাকে পোলার স্থানাঙ্ক বলে। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে পোল বা মূলবিন্দু এবং রেখাটিকে আদিরেখা (Initial line) বা পোলার অক্ষ বলে।

বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ: কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোন বিন্দুর অবস্থানকে (x, y) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। x কে বিন্দুটির ভুজ (abscissa) এবং y কে বিন্দুটির কোটি (ordinate) বলে। পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোনো বিন্দুর অবস্থানকে (r, θ ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। r কে ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector) এবং θ কে ভেক্টোরিয়াল কোণ বলে।

• পোলার স্থানাঙ্ক ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক (Relation between Polar and Cartesian co ordinates) : 

চিত্রে P বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, θ) হলে চিত্রানুসারে আমরা পাই, x = r cosθ এবং y = r sinθ

\therefore r=\sqrt{\chi_{2}+y_{2}}   এবং \tan \theta = \frac{y}{x}

P(x,y) বিন্দুটির চারটি চতুর্ভাগে অবস্থানের উপর ভিত্তি করে আর্গুমেন্ট (θ) নির্ণয়ের সাধারণ চারটি নিয়ম:

1. P(x,y) এর ক্ষেত্রে; \theta = \tan^{-1} \theta = \frac{y}{x}
2. P(-x,y) এর ক্ষেত্রে; \theta = \pi - \tan^{-1} \theta = \frac{y}{x}
3. P(-x,-y) এর ক্ষেত্রে; \theta = \pi + \tan^{-1} \theta = \frac{y}{x}  ;যখন, 0 ≤ θ <2π

Or, \theta = \pi + \tan^{-1} \theta = \frac{y}{x}  ;যখন, -π < θ ≤π

4. P(x,-y) এর ক্ষেত্রে; \theta = 2 \pi + \tan^{-1} \theta = \frac{y}{x} ;যখন, 0 ≤ θ <2π

Or, \theta = - \tan^{-1} \theta = \frac{x}{y}  ; যখন, -π < θ ≤π

দুইটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব (Distance between two points):

1. i) কার্তেসীয় স্থানাংক

P (x1, y1) ও Q (x2, y2) বিন্দু দুইটির মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। x অক্ষের উপর PL, OM লম্ব টানি এবং OM এর উপর PV লম্ব টানি।

\therefore \mathrm{OL}=\mathrm{x}_{1}, \mathrm{OM}=\mathrm{x}_{2}, \mathrm{NM}=\mathrm{PL}=\mathrm{y}_{1}, \mathrm{QM}=\mathrm{y}_{2}

∴ P,Q বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব = PQ

= \sqrt{P N^{2}+Q N^{2}}

 

= \sqrt{(LM)^{2} + (QM - NM)^{2}}

 

= \sqrt{(OM - OL)^{2} + (QM - PL)^{2}}

 

= \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}

 

=\sqrt{(\text { তুজদ্বয়ের পার্থক্য) })^{2}+(\text { কোটিদ্বয়ের পার্থক্য })^{2}}

 

(ii) পোলার স্থানাঙ্ক: মনে করি, O বিন্দু মূলবিন্দু ও OX আদি রেখা সাপেক্ষে দুইটি বিন্দু P_1 (r_1, \theta_1) এবং P_2 (r_2, \theta_2)  

সুতরাং, P_1 (r_1, \theta_1)  বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (r_1 \cos \theta_1 , r_1 \sin \theta_1)   এবং P_2 (r_2, \theta_2)  বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (r_2 \cos \theta_2 , r_2 \sin \theta_2) 

P_1 এবং P_2   বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

P_1 P_2 = \sqrt{(ভুজদ্বয়ের পার্থক্য)^{2} + (কোটিদ্বয়ের পার্থক্য)^{2}}

= \sqrt{\left(r_{2} \cos \theta_{2}-r_{1} \cos \theta_{1}\right)^{2}+\left(r_{2} \sin \theta_{2}-r_{1} \sin \theta_{1}\right)^{2}} \sqrt{r_{2}^{2} \cos ^{2} \theta_{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \theta_{2} \cos \theta_{1}+r_{1}^{2} \cos ^{2} \theta_{1}+r_{2}^{2} \sin ^{2} \theta_{2}-2 r_{1} r_{2} \sin \theta_{2} \sin \theta_{1}+r_{1}^{2} \sin ^{2} \theta_{1}} 

=\sqrt{r_{2}^{2}\left(\cos ^{2} \theta_{2}+\sin ^{2} \theta_{2}\right)+r_{1}^{2}\left(\cos ^{2} \theta_{1}+\sin ^{2} \theta_{1}\right)-2 r_{1} r_{2}\left(\cos \theta_{2} \cos \theta_{1}+\sin \theta_{2} \sin \theta_{1}\right)} )

=\sqrt{r_{2}^{2}+r_{1}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)}   \mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}=\sqrt{r_{2}^{2}+r_{1}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)} 

Note: (r_1, \theta_1)  এবং (r_2, \theta_2)   বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী, দূরত্ব নির্ণয়ের ক্ষেত্রে

\sqrt{r_{2}^{2}+r_{1}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)} \text { এবং } \sqrt{r_{2}^{2}+r_{1}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} একই মান নির্দেশ করে।

৩.১৭ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে একটি নির্দিষ্ট রেখার লম্ব দূরত্ব (Perpendicular distance from a fixed point to a fixed line)

ধরি, নির্দিষ্ট রেখাটির সমীকরণ, ax + by + c = 0

এবং (x_1, y_1)  বিন্দু থেকে এ রেখার উপর লম্ব দূরত্ব = p

ax+by+c=0 রেখার উপর দুইটি বিন্দু \mathrm{A}\left(-\frac{c}{a}, 0\right) \text { ง } \mathrm{B}\left(0, \frac{-c}{b}\right)   নিই। 

\Delta \mathrm{A} B P=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} \frac{-c}{a} & 0 & 1 \\ 0 & \frac{-c}{b} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \end{array}\right]

                            =\frac{1}{2}\left\{\frac{c}{a}\left(y_{1}+\frac{c}{b}\right)+x_{1}\left(0+\frac{c}{b}\right)\right\}

                            =\frac{1}{2}\left(\frac{c y_{1}}{a}+\frac{c^{2}}{a b}+\frac{c x_{1}}{b}\right)

                            =\frac{c}{2}\left(\frac{b y_{1}+a x_{1}+c}{a b}\right)

                            =\frac{c}{2 a b}\left(b y_{1}+a x_{1}+c\right)

∴ লম্বের দৈর্ঘ্য, \mathrm{p}=\frac{\left|a x_{1}+b y_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} [বিশেষ কোন যুক্তি উল্লেখ না থাকলে লম্বের দৈর্ঘ্য ধনাত্মক ধরা হয়।]

লম্বের চিহ্নঃ যদি সমীকরণটি এমনভাবে লেখা যায় যে, অনপেক্ষ পদ (absolute term) যোগবোধক হয়, তাহলে p বিন্দু এবং মূলবিন্দু রেখাটির একই পার্শ্বে পড়লে লম্ব ধনাত্মক হবে এবং বিপরীত পার্শ্বে পড়লে লম্ব ঋণাত্মক হবে। 

 

৩.১৭.১ কোন বিন্দু হতে কোনো রেখার সমান্তরাল দিকে অপর কোনো রেখার দূরত্ব 

(Perpendicular distance from a fixed point to a fixed line)

A(x_1, y_1) বিন্দু হতে a_1 x+b_1 y+c_1 = 0 রেখার সমান্তরাল দিকে 

a_2 x+b_2 y+c_2 = 0 রেখার দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে 

a_1 x+b_1 y+c_1 = 0 এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখা 

a_1 x+b_1 y+c_1 = 0 নিই। এই রেখার উপর A(x_1, y_1) অবস্থিত।   

\therefore a_1 x+b_1 y+c_1 = 0

বা, k = -a_1 x - b_1 y

এখন a_2 x+b_2 y+c_2 = 0 এবং a_1 x+b_1 y+ k  = 0  সমাধান করে ছেদবিন্দু B(x_2, y_2)  পাওয়া যাবে। 

তাহলে, নির্ণেয় দূরত্ব \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}

 

৩.১৭.২   দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব (Perpendicular distance of two parallel straight lines)

মনে করি, সমান্তরাল সরলরেখা দুইটি AB ও CD এর সমীকরণ যথাক্রমে  a_1 x+b_1 y+c_1 = 0  এবং ax+by+c_1 = 0 .

E(x_1, y_1) বিন্দু হতে AB সরলরেখার উপর অবস্থিত। 

\therefore a \times_{1}+b y_{1}+c_{1}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (i) }  

E বিন্দু হতে CD সরলরেখার উপর EF লম্ব আঁকা হল। 

E(x1,y1) E(x_1, y_1) বিন্দু হতে ax+by+c_2 = 0  রেখার উপর লম্ব দূরত্ব, E F=\frac{\left|a x_{1}+b y_{1}+c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

মনে করি, P = EF

\therefore p = \frac{\left|a x_{1}+b y_{1}+c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

  = \frac{\left| - c_1 + c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} [সমীকরণ i নং থেকে ax_1 + by_1 = -c_1 ]

  = \frac{\left| c_{2} - c_1 \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

AB সরলরেখার সমীকরণ ax+by+c_2 = 0   

এবং CD-এর সমীকরণ  ax+by+c_1 = 0  হলে সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব হবে   \frac{\left| c_{2} - c_1 \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} .

সুতরাং ax+by+c_1 = 0   এবং ax+by+c_2 = 0    সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 

  = \frac{\left| c_{2} - c_1 \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = = \frac{\left| c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

∴ দুইটি সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \frac{| \text{ধ্রুবকদ্বয়ের অন্তর} |}{\sqrt{(x \text{এর সহগ})^2 + (y \text{এর সহগ})^2}}

৩.১৭.৩   দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ (Equation of bisectors of the angles between two straight lines)

মনে করি, LM এবং RS সরলরেখাদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে এবং এদের সমীকরণ যথাক্রমে, 

a x_{1}+b y_{1}+c_{1}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (i) }

এবং a x_{2}+b y_{2}+c_{2}=0 \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (ii) }

ধরি, AD এবং AE রেখাদ্বয় LM এবং RS রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়। (i) ও (ii) সমীকরণদ্বয়কে এমনভাবে লিখা হয়েছে যেন C_1 এবং C_2 উভয়ই যোগবোধক। মনে করি, RAL কোণের সমদ্বিখণ্ডক AD রেখার উপর P(x_1, y_2) যে কোনো একটি বিন্দু। P বিন্দু হতে LM এবং RS রেখাদ্বয়ের উপর যথাক্রমে PM_1 এবং PM_2 লম্ব টানি। এখন যেহেতু APM_1 এবং APM_2 সমকোণী ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অতএব, PM_1 ও PM_1   x লম্বদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।

অর্থাৎ, \frac{a_{1} x_{1}+b_{1} y_{1}+c_{1}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+b_{1}{ }^{2}}} = \frac{a_{2} x_{1}+b_{2} y_{1}+c_{2}}{\sqrt{a_{2}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}} \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots  \text{(iii)}

আবার যেহেতু মূলবিন্দু এবং P বিন্দু AL এবং AR সরলরেখাদ্বয়ের একই পার্শ্বে অবস্থিত। সুতরাং PM_1 এবং PM_2  লম্বদ্বয়ের একই চিহ্ন হবে।

অনুরূপভাবে MAR কোণের সমদ্বিখণ্ডক AE রেখার উপর Q(x_1, y_2)  যে কোন বিন্দু হলে,

আমরা পাই, \frac{\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{1}{ }^{2}}}=\frac{\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{2}}{\sqrt{\mathrm{a}_{2}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2}{ }^{2}}} \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (iv) }

এখানে, QN_1 এবং QN_2  লম্বদ্বয়ের চিহ্ন বিপরীত হবে। কারণ, মূলবিন্দু ও Q বিন্দু LM সরলরেখার একই পার্শে, কিন্তু RS সরলরেখার বিপরীত পার্শ্বে।

অতএব, সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা,

\frac{\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{1}{ }^{2}}} = \pm \frac{\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{2}}{\sqrt{\mathrm{a}_{2}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2}{ }^{2}}}  এর একটি বা অপরটি সিদ্ধ হয়।

যেহেতু সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় এমন কতকগুলো বিন্দুর সঞ্চারপথ যা থেকে সরলরেখাদ্বয়ের উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান। অতএব, নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় P এবং Q এর সঞ্চারপথ। সুতরাং তাদের সমীকরণ,

\frac{\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{1}{ }^{2}}} = \pm \frac{\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{2}}{\sqrt{\mathrm{a}_{2}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2}{ }^{2}}} \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \text { (v) }

 

নোট-১

• যদি c_1, c_2 একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় অর্থাৎ উভয়ই (+) অথবা উভয়ই (-) চিহ্নযুক্ত হলে, তবে (+) চিহ্নযুক্ত সমীকণটি মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখণ্ডক বুঝায়। (-) চিহ্নযুক্ত সমীকরণটি অন্য সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্দেশ করে।
• যে সমদ্বিখণ্ডক, প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তা প্রদত্ত যে কোনো একটি সরলরেখার সাথে 45° কোণের চেয়ে ছোট কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং যদি দেখা যায় যে একটি সমদ্বিখণ্ডক ও যে কোনো একটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের টেনজেন্ট 1 এর চেয়ে কম, তবে ঐ সমদ্বিখণ্ডক প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• কোনো নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যদি কোনো কোণের বিশেষ সমদ্বিখণ্ডকের প্রয়োজন হয়, তবে সেক্ষেত্রে প্রকৃত চিত্র একেই তা করতে হবে। চিত্রে সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল লক্ষ্য করে চিহ্নের দ্ব্যর্থতা দূরীভূত করতে হবে।

নোট-২

• মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।
• একটি দ্বিখণ্ডক ও একটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের ঢাল 1 এর চেয়ে ছোট হলে ঐ দ্বিখণ্ডকটি প্রদত্ত রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• a_1 a_2 + b_1 b_2 < 0 হলে ঋণাত্মক চিহ্ন হতে প্রাপ্ত দ্বিখণ্ডকটি সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক।
• প্রত্যেকটি সমদ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে রেখাদ্বয় একে অপরের প্রতিচ্ছবি।

অনুসিদ্ধান্ত:

1. f(x, y) = a_1 x + b_1 y + c = 0 এবং g(x, y) = a_2 x + b_2 y + c_2 = 0  রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ, \frac{\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{1}{ }^{2}}} = \pm \frac{\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{c}_{2}}{\sqrt{\mathrm{a}_{2}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2}{ }^{2}}}    
2.   P(\alpha, \beta) বিন্দুধারণকারী কোণটির সমদিখন্ডক সমীকরণ ‘+’ হবে যখন f(\alpha, \beta) \times g(\alpha, \beta) > 0 ‘-’ হবে,যখন f(\alpha, \beta) \times g(\alpha, \beta)  < 0 
3. মূলবিন্দু ধারণকারী কোণটির সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ ‘+’ অথবা ‘-‘ হবে যখন যথাক্রমে c_1 \times c_2 > 0 ও c_1 \times c_2 < 0,

iii. P(x^{\prime}, y^{\prime}) বিন্দুটি রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত স্থূলকোণে অথবা সূক্ষ্মকোণে অবস্থিত হবে, যখন যথাক্রমে f(x^{\prime}, y^{\prime}) \times g(x^{\prime}, y^{\prime})  (a_1 a_2 + b_1 b_2) > 0 \text{ বা }, < 0    

2. \mathrm{L}_{1}=\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{y}+\mathrm{c}_{1}=0 \text { এবং } \mathrm{L}_{2}=\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{y}+\mathrm{c}_{2}=0 \text { হয়, তবে }

i. \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}>0 \text { হলে, } \mathrm{L}_{1} \text { ও } \mathrm{L}_{2} এর মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক সমীকরণ,

\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}} = +\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}

ii. \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}>0 \text { হলে, } \mathrm{L}_{1} \text { ও } \mathrm{L}_{2} এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সমীকরণ,

\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}} = -\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}

iii. \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2} < 0 \text { হলে, } \mathrm{L}_{1} \text { ও } \mathrm{L}_{2}  এর মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক সমীকরণ,

\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}} = -\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}

iv. \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2} < 0 \text { হলে, } \mathrm{L}_{1} \text { ও } \mathrm{L}_{2}  এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সমীকরণ,

\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}} = +\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}

• নির্দিষ্ট সরলরেখার একই অথবা বিপরীত পার্শ্বে বিন্দুর অবস্থান (Position of the Points on the same side or opposite side of a straight line)

 

মনে করি, MN সরলরেখার সমীকরণ ax + by + c = 0.

ধরি, P(x_1, y_1) এবং Q(x_2, y_2)  বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা MN রেখাকে R(x, y) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি, PR : RQ = k : 1

বিন্দুর স্থানাঙ্ক \left(\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}, \frac{k y_{2}+y_{1}}{k+1}\right)

যেহেতু R বিন্দুটি MN রেখার উপর অবস্থিত।

\mathrm{a} \frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}+\mathrm{b} \frac{k x_{2}+y_{1}}{k+1}+\mathrm{c}=0

বা, a\left(k x_{2}+x_{1}\right)+b\left(y_{2}+y_{1}\right)+c(k+1)=0

বা, \mathrm{k}\left(\mathrm{ax}_{2}+\mathrm{by}_{2}+\mathrm{c}\right)+\mathrm{ax}_{1}+\mathrm{bx}_{1}+\mathrm{c}=0

বা, \mathrm{k}=-\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{a x_{2}+b y_{2}+c}

P ও Q যদি MN রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হয়, তাহলে R, PQ রেখাংশের অন্তঃবিন্দু হবে।

সুতরাং k : 1 অনুপাতটি ধনাত্মক হবে। আবার, P ও Q যদি MN রেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত হয়, তাহলে R, PQ রেখাংশের বহিঃস্থ বিন্দু হবে। সুতরাং k : 1 অনুপাতটি ঋণাত্মক হবে।

সুতরাং \frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{a x_{2}+b y_{2}+c} ঋণাত্মক অথবা ধনাত্মক হলে অর্থাৎ a x_{1}+b y_{1}+c এবং a x_{2}+b y_{2}+c  একই বা বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে, P ও Q বিন্দুদ্বয় MN রেখার একই বা বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হবে।

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ্ব (Positive and negative side): ax + by + c = 0 সরলরেখার কোনো পার্শ্বের যে কোনো বিন্দু (x_1, y_1)  এর জন্য যদি a x_{1}+b y_{1}+c  সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ্ব এবং তার বিপরীত পার্শ্বটিকে ঋণাত্মক পার্শ্ব বলা হয়।

মূলবিন্দুর অবস্থান : যদি ax + by + c = 0 সমীকরণের c ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু (0, 0) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শ্বে এবং c ঋণাত্মক হলে মূলবিন্দু রেখাটির ঋণাত্মক পার্শ্বে অবস্থিত।

মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থান : যদি a x_{1}+b y_{1}+c এবং c একই চিহ্নবিশিষ্ট হয়, তবে (0, 0) এবং (x_1, y_1)   একই পার্শ্বে অবস্থিত হবে। আর যদি ভিন্ন চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দুও (x_1, y_1)   বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হবে। 

উদাহরণ: A(2, 5), B(-1, 3) বিন্দুদ্বয় 3x -2y + 7 = 0 রেখার একই পার্শ্বে অথবা বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কিনা তা নির্ণয় কর। কোন বিন্দুটি মূলবিন্দুর পার্শ্বে অবস্থিত?

সমাধান : ধরি, প্রদত্ত সমীকরণ, L = 3x – 2y +7 = 0

∴ L(A) = 3.2 – 2.5 +7 = 3 > 0 

এবং, L(B) = 3.(-1) – 2.3 +7 = -2 < 0

দেখাও যে, L(A) এবং L(B) পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত। সুতরাং বিন্দুদ্বয় প্রদত্ত রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। আবার মূলবিন্দু, O(0, 0).

∴ L(O) = 3.0 – 2.0 +7 = 7 > 0 

সুতরাং L(A) এবং L(0) উভয়েই ধনাত্মক অর্থাৎ একই চিহ্নযুক্ত। অতএব রেখাটির যে পার্শ্বে মূলবিন্দু ঐ পার্শ্বে A বিন্দুটি অবস্থিত।