Bank Jobs | পরিসংখ্যান ও সম্ভাবনা

পরিসংখ্যানের ধারণা 

• বিভিন্ন বিষয়ে ঘটনার সংখ্যাসূচক তথ্য কীভাবে পাওয়া যায় এবং কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় সে সম্বন্ধে পরিসংখ্যানে আলোচনা করা হয়ে থাকে।
• সংখ্যাসূচক তথ্যকে পরিসংখ্যান বলে।
• যেমন- কোনো একটি পরীক্ষায় ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বর ৫০, ৮০, ৯০, ৭০ –  এটি একটি পরিসংখ্যান।

উপাত্ত

• পরিসংখ্যানে বর্ণিত তথ্যসমূহ যে সকল সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ বা উপস্থাপন করা হয় তা হচ্ছে পরিসংখ্যানের উপাত্ত। 

যেমন-  কোনো একটি পরীক্ষায় ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বর ৫০, ৮০, ৯০, ৭০। এখানে ৫০, ৮০, ৯০, ৭০ হল পরিসংখ্যানের উপাত্ত।

• তবে একটি মাত্র সংখ্যা দ্বারা প্রকাশিত উপাত্ত পরিসংখ্যান নয় । \

যেমন- মেহেদির বয়স ১৫ বছর। এটি পরিসংখ্যান নয়। 

অবিন্যস্ত উপাত্ত

মনে করি ১০ জন ব্যক্তির ওজন কেজিতে- ৫০, ৪০, ৪৫, ৭০, ৬৫, ৫৭, ৫২, ৪৭, ৫৫, ৭২। এখানে উপস্থাপিত সংখ্যা বা উপাত্তগুলো অবিন্যস্তভাবে আছে। এটিকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

বিন্যস্ত উপাত্ত

এবার, সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- ৪০, ৪৫, ৪৭, ৫০, ৫২, ৫৫, ৫৭, ৬৫, ৭০, ৭২। এভাবে সাজানো উপাত্তসমূহকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

কেন্দ্রিকতা (Central Tendency)

অধিকাংশ উপাত্তের মান মোটামুটিভাবে মাঝামাঝি অবস্থানে সংঘবদ্ধ হবার প্রবণতাকে কেন্দ্রিকতা বলে। গড়, মধ্যক ও প্রচুরক হলো কেন্দ্রিকতার পরিমাপ।

গড়

সংগৃহীত উপাত্তসমূহের সমষ্টিকে উপাত্তসমূহের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে গড় পাওয়া যায়।

গড় = (উপাত্তসমূহের সমষ্টি ÷ উপাত্তসমূহের সংখ্যা)

মধ্যক

পরিসংখ্যানের সংগৃহীত উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে উপাত্তটি ঠিক মাঝখানে থাকে সেই মানটিই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।

মনে করি, ৫ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর- ৪০, ৪০, ৫০, ৯০, ১০০। 

এখানে মধ্যক- ৫০।

প্রদত্ত তথ্য সমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মান উপাত্তগুলোকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে তাকে মধ্যক বলে।

মধ্যক= \frac{(উপাত্তের সংখ্যা+ ১)}{২} তম পদ  [যদি উপাত্তের সংখ্যা বিজোড় হয়]

১০, ৯, ১২, ৬, ১৫, ৭, ৮, ১৪, ১৩ এই সংখ্যাগুলোর মধ্যক- ১০।

উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক হবে মাঝখানের পদ দুটির গড়। 

যেমন- ৬, ৭, ৮, ১০, ১১, ১২ এর মধ্যক ( ৮+১০ ) / ২ = ৯

প্রচুরক 

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি থাকে তাকে প্রচুরক বলে। 

৮০, ৮৫, ৮৭, ৯০, ৯০, ৯৫, ৯৫, ৯৫, ৯৫, ১০০ – সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ৯৫। কারণ, এখানে ৯৫ সবচেয়ে বেশি রয়েছে ৪ বার। 

উদাহরণ

সমস্যা ১: ১১টি সংখ্যার গড় ৩০।  প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ ও শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮।  ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত? 

ক) ৫৫

খ) ৫৮

গ) ৬৫   

ঘ) ৬৭

সমাধান:

১১টি সংখ্যার যোগফল= ৩০*১১= ৩৩০ 

প্রথম ৫ টি সংখ্যার যোগফল= ২৫*৫= ১২৫ 

শেষ ৫ টি সংখ্যার যোগফল= ২৮*৫= ১৪০ 

ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ৩৩০ – ১২৫ -১৪০ = ৬৫ 

সমস্যা ২: ৯টি ইনিংসে এক জন ক্রিকেটারের একটি নির্দিষ্ট গড় থাকে। ১০ম ইনিংস ১০০ রান করায় ইনিংস প্রতি তার রানের গড়  ৮ রান বেড়ে যায়।  তার নতুন গড় কত?

ক) ২০ রান      

খ) ২৪ রান    

গ) ২৮ রান    

ঘ) ৩২ রান

সমাধান: 

ধরি ৯ ম্যাচে তার গড় ছিল ক এবং মোট রান ৯ক 

১০০ রান করায় মোট রান ৯ক + ১০০ 

এখন \frac{৯ক+১০০}{১০} = ক+৮ 

বা, ৯ক + ১০০ = ১০ক + ৮০ 

বা, ক= ২০ 

তার নতুন গড় ২০+৮=২৮ 

সম্ভাবনার ধারণা

কোনো ঘটনা ঘটার মধ্যে অনিশ্চয়তা থাকলে আমরা সম্ভাবনার কথা বলে থাকি। অনিশ্চয়তার মাত্রার উপর সেই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা কম না বেশি তা নির্ভর করে। 

সম্ভাবনা= ঘটনাটির অনুকূল উপাদানের সংখ্যা / মোট উপাদানের সংখ্যা 

সম্ভাবনার মান সব সময় 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।

দৈব পরীক্ষা 

কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে, কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় কী ফলাফল আসবে তা আগে থেকে নিশ্চিত করে বলা যায় না। এটিই দৈব পরীক্ষা। যেমন- মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা। 

ঘটনা 

কোনো পরীক্ষার ফলাফল বা ফলাফলের সমাবেশকে ঘটনা বলে। যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় 3 পাওয়া একটি ঘটনা।

সমসম্ভাব্য ঘটনাবলী

কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয়। অর্থাৎ, যদি একটি অপরটির চেয়ে বেশি বা কম সম্ভাব্য না হয়, এটিকে সমসম্ভাব্য ঘটনাবলী বলে। যেমন- একটি মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল হবার সম্ভাবনা সমান। সুতরাং এটি একটি সমসম্ভাব্য ঘটনা। 

পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনাবলী

কোনো পরীক্ষায় যদি একটি ঘটনা ঘটলে অন্য একটি ঘটনা না ঘটে, তখন উক্ত ঘটনাকে পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে। যেমন- একটি একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হেড বা টেল যেকোনো একটি আসলে অপরটি আসতে পারবে না।

অনুকূল ফলাফল

কোনো পরীক্ষায় একটি ঘটনা ঘটার স্বপক্ষের ফলাফল হলো অনুকূল ফলাফল।

নমুনাক্ষেত্র ও নমুনাবিন্দু

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে। যেমন- একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা রয়েছে। অতএব সমাধান সেট, S = { H, T }। 

নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানকে ফলাফলের নমুনাবিন্দু বলে। এখানে H এবং T উভয়ে নমুনাবিন্দু।

নিশ্চিত ঘটনা

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। যেমন- সূর্য পূর্ব দিকে উঠবে তার সম্ভাবনা 1। নিশ্চিত ঘটনা ঘটার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান সব সময় 1 হবে।  

অসম্ভব ঘটনা

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা কখনো ঘটবে না বা ঘটতে পারে না তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে। অসম্ভব ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সবসময় শূন্য হয়। যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপ করে 7 আসার সম্ভাবনা শূন্য হবে। 

উদাহরণ

• এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে 2টি তাস নেয়া হলো। তাস দুটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

এক প্যাকেট তাসের মধ্যে যেহেতু মোট ৫২টি তাস থাকে যার মধ্যে ৪টি রাজা, তাই প্রথম তাস নিলে রাজা হওয়ার সম্ভাবনা  4/52 বা, 1/13

দ্বিতীয় তাস রাজা হওয়ার সম্ভাবনা 3/51 = 1/17

দুটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা= 1/13 x 1/17 = 1/221 

• A bag contains four white, five red, and six blue balls. Three balls are drawn at random from the bag. The probability that all of them are red is_____

Ans: 

Let S be the sample space

⇒ n(S)=number of ways of drawing 3 balls out of 15

^{15}C_3=455 ​

Let E be the event of getting all of the 3 red balls.

\therefore n(E)=^{5}C_3=10

\therefore P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{10}{455}=\frac{2}{91}

• একটি ছক্কা ১ বার নিক্ষেপ করলে ২ বা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

১ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল = ৬টি । 

তা থেকে ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে ২টি আবার ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ২টি (৩ ও ৬) 

সুতরাং ২ ও ৩ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা হলো (২, ৩, ৪ এবং ৬) তাই উত্তরটি হবে \frac{4}{6} বা \frac{2}{3}

• দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: দুইটি মুদ্রা একসাথে একসাথে নিক্ষেপ করলে নিচের ফলাফল আসে: 

HH, HT, TH, TT 

প্রথম মুদ্রায় H, ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা ১/৪