Math Basic | শতকরা, অনুপাত ও গড়

অনুপাতের ধারণা

দুটি এক জাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এ ভগ্নাংশকে রাশি দুটির অনুপাত বলে।

মনে করি, আরিফের কাছে ৮ টাকা, কাসেমের কাছে ৬ টাকা, মামুনের কাছে ১০ টাকা এবং সোহেলের কাছে ১৬ টাকা আছে। এখানে সোহেলের কাছে আরিফের টাকার দ্বিগুণ আছে তাই আরিফ ও সোহেলের টাকার অনুপাত ১:২ আবার সোহেল ও আরিফের টাকার অনুপাত ২:১। 

দুটি রাশির তুলনা করতে ‘অনুপাত’ শব্দটি ব্যবহার করা হয়। অনুপাতের কোনো একক নেই।

অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। যেমন- ৮:৩।

তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে। যেমন- কোনো একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি., প্রস্থ ৫ সে.মি, ও উচ্চতা ৬ সে.মি হলে এভাবে লেখা যায়- 

দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা= ৮ : ৫ : ৬ 

সরল অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। যেমন: ৫:৮ অনুপাতের পূর্ব রাশি ৫ এবং উত্তর রাশি ৮।

লঘু অনুপাত: পূর্ব রাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন: ৭:৯।

গুরু অনুপাত: পূর্ব রাশি উত্তর রাশি থেকে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে।যেমন: ১১:৫।

একানুপাত: পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি পরস্পর সমান হলে, তাকে একানুপাত বলে। যেমন: ৫:৫।

ব্যস্ত অনুপাত: সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে সরল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন: ৭:১২ এর ব্যস্ত অনুপাত ১২:৭।

শতকরার ধারণা

শতকরা একটি ভগ্নাংশ যার হর ১০০। গণিতে শতকরাকে “%”  চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ভগ্নাংশের মান যেমন ১ অপেক্ষা বেশি হতে পারে, শতকরাও তেমনি ভাবে ১০০% এর বেশি হতে পারে।

১০০% বললে সম্পূর্ণটি বুঝায় আর ২০০%, ৩০০% এবং ৪০০% বললে সম্পূর্ণটির দ্বিগুণ, তিন গুণ এবং চার গুণ বুঝায়।

গড়ের ধারণা

কতগুলো রাশি দেওয়া থাকলে, রাশিগুলোর মানের যোগফলকে রাশিগুলোর সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে গড় বলে।

অর্থাৎ, গড়=  রাশিগুলোর যোগফল/রাশিগুলোর সংখ্যা।

আবার, রাশিগুলোর যোগফল= গড় x রাশিগুলোর সংখ্যা।

মনে করি, তিন জন ছাত্রের পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে, ৮৫, ৮০, ৯০। সুতরাং তাদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়= {(৮৫+ ৮০+ ৯০) / ৩ } = ৮৫। 

১। ৬৪ কিলোগ্রাম বালি ও পাথরের মিশ্রণে বালির পরিমাণ ২৫%। কত কিলোগ্রাম বালি মিশালে নতুন মিশ্রণে পাথরের টুকরোর পরিমাণ ৪০% হবে?

সমাধান: ৬৪ কিলোগ্রামে বালির পরিমাণ ৬৪ X ২৫% = ৬৪ X ১/৪ = ১৬ কিলোগ্রাম।

তাহলে পাথর = ৬৪-১৬ = ৪৮ কিলোগ্রাম। 

এখন পাথরের টুকরার পরিমাণ ৪০% করতে ৪৮ কিলোগ্রামকে ৪০% ধরতে হবে। 

তাহলে ৪০% মিশ্রণ = ৪৮ কিলোগ্রাম।

পুরো মিশ্রণ = (৪৮ X ১০০)/৪০ = ১২০ কিলোগ্রাম।

তাহলে, ৬০% মিশ্রণ= ১২০ X ৬০% = ৭২ কিলোগ্রাম।

নতুন করে বালি মিশাতে হবে = ৭২ – ১৬ কিলো = ৫৬ কিলোগ্রাম।

২। টাকায় তিনটি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান: টাকায় তিনটি আম ক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ০.৩৩ টাকা 

দুইটি বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য ০.৫ টাকা 

সুতরাং লাভ হচ্ছে ০.৫- ০.৩৩ টাকা = ০.১৭ টাকা 

সুতরাং শতকরা লাভ (০.১৭/০.৩৩) x ১০০% = ৫১.৫২% 

৩। ৩ঃ৫ অনুপাত বিশিষ্ট দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৫৬ হলে, সংখ্যা দুটির অন্তর কত?

সমাধান: এখানে, দুই অনুপাত অংশের সমষ্টি (৩+৫)=৮ অংশ 

প্রতি অংশ = ৫৬/৮= ৭

তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৭ x ৩ = ২১ 

বড় সংখ্যাটি = ৭ x ৫ = ৩৫ 

৪। একজন ব্যবসায়ী ১৪% ক্ষতিতে একটি পণ্য বিক্রয় করে। যদি সে পণ্যটি ২২১ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করতো, তাহলে তার ১২% লাভ হতো। পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান: ১৪% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্যের ৮৬% 

১২% লাভে বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্যের ১১২% 

পার্থক্য (১১২-৮৬)% = ২৬% 

প্রশ্নমতে, ২৬% = ২২১ টাকা 

১০০%= (২২১/২৬) x ১০০ = ৮৫০ টাকা 

ক্রয়মূল্য ৮৫০ টাকা।

৫। একজন দোকানদার কিছু পণ্য ক্রয় করলেন। পরিবহনের সময় ১৩% পণ্য নষ্ট হয়ে গেলো এবং ৭% পণ্য চুরি হয়ে গেলো। মোটের উপর ২০% লাভ করতে হলে তাকে অবশিষ্ট পণ্য শতকরা কত লাভে বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান: ধরি, পণ্যের পরিমাণ ১০০।

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। 

মোট ক্রয়মূল্য = ১০,০০০ টাকা। 

এখন, ২০% লাভে বিক্রয়মূল্য ১২০০০ টাকা।

২০% পণ্য নষ্ট ও চুরিতে অবশিষ্ট পণ্যের পরিমাণ ৮০। 

অবশিষ্ট পণ্যের মোট ক্রয়মূল্য=৮০x১০০= ৮০০০ টাকা।

সুতরাং লাভের পরিমাণ = ১২০০০-৮০০০= ৪০০০ টাকা। 

শতকরা লাভ = (৪০০০/৮০০০)x ১০০ % = ৫০%।

৬। ১০০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৯০, যার মধ্যে ৭৫ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৯৫। অবশিষ্ট শিক্ষার্থীর গড় নম্বর কত?

সমাধান: 

১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৯০০০।

৭৫ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর= ৭১২৫। 

অবশিষ্ট শিক্ষার্থীর নাম্বার ৯০০০- ৭১২৫= ১৮৭৫।

বাকি ২৫ শিক্ষার্থীর গড় = ১৮৭৫/২৫ = ৭৫।

৭। কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিত এবং ৭০% বাংলায় পাস করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৬০% পাস করে থাকে তবে উভয় বিষয়ে  শতকরা কত জন ফেল করলো?

সমাধান: 

উভয় বিষয়ে ৬০% পাশ করলে শুধু গণিতে পাশ করে = ২০%।

শুধু বাংলায় পাশ করে ১০%। 

অন্তত এক বিষয়ে পাশ করে = ৬০+২০+১০ = ৯০%।

তাহলে উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১০%।