নির্ণায়ক (Determinant)

১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে গণিতবিদ লিবনিজ (Leibnitz) সরল সমীকরণমালার সমাধানে এক বিশেষ সম্পর্কের অবতারণা করেন। উনবিংশ শতাব্দীতে গাউস (Gauss) এবং কসি (Cauchy) এ সম্পর্কে আরও সুস্পষ্ট ধারণা দেন। সর্বপ্রথম কসি গাণিতিক ফাংশনের নাম দেন নির্ণায়ক (Determinant).

নির্ণায়ক (Determinant):

নির্ণায়ক হলো বিশেষ আকারে লিখিত নির্দিষ্ট এক প্রকারের রাশি। কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $\begin{bmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}$ এর উপাদানগুলোকে একই রেখে এবং তাদের অবস্থানের পরিবর্তন না করে $\begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$ আকারে লিখলে একে প্রদত্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বা সংক্ষেপে শুধু নির্ণায়ক বলে।

এখানে $a_1, a_2, b_1, b_2$ কে নির্ণায়কের উপাদান এবং $a_1, a_2$ হল নির্ণায়কটির প্রধান কর্ণ গঠনকারী উপাদান।

নির্ণায়কের উপাদানগুলোর অনুভূমিক বিন্যাসকে সারি (row) এবং উলম্ব বিন্যাসকে স্তম্ভ বা (column) বলে।
নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা অবশ্যই সমান হতে হবে।
নির্ণায়কের মাত্রা: কোন নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা n হলে, তাকে n মাত্রার নির্ণায়ক বলা হয়।

নির্ণায়কের পদ :

তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়ক $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ এর উপাদান $a_1, b_1, c_1$ ইত্যাদি গুণফলকে নির্ণায়কের পদ (terms) বলা হয়।

মূখ্য কর্ণ ও মাধ্যমিক কর্ণ:

উপরের নির্ণায়ক লক্ষ্য করলে দেখা যায় $a_1, b_2 ও c_3$ উপাদানগুলো একটি কর্ণ এবং $a_3, b_2, c_1$ উপাদানগুলো অপর একটি কর্ণ গঠন করে। প্রথম কর্ণকে মুখ্য কর্ণ এবং দ্বিতীয় কর্ণকে মাধ্যমিক কর্ণ বলা হয়। মূখ্যকর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল $a_1, b_2 , c_3$ কে মুখ্যপদ এবং মাধ্যমিক কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফলকে $a_3, b_2, c_1$ মাধ্যমিক পদ বলে।

নির্ণায়ক

নির্ণায়কের মান নির্ণয় (Determining of Determinant of Matrix)

এক ক্ৰমের নির্ণায়কের মান: $A=[a_{11}]$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $|A|=|a_{11}|=a_{11}$

অর্থাৎ কোনো নির্ণায়কের একটি মাত্র সারি ও একটি মাত্র কলাম থাকলে এর মান হবে নির্ণায়কটি যে সংখ্যা দ্বারা গঠিত ঐ সংখ্যাই।

উদাহরণ: |-6|=6 আবার, |5|=5

2×2 আকারের নির্ণায়কের মান: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $|A|=a_{11}.a_{22}-a_{12}.a_{21}$

3×3 আকারের নির্ণায়কের মান :

তিনটি সারি ও তিনটি কলাম দ্বারা নির্ণায়কের বিস্তার সহজে করার জন্য জন্য সারস ডায়াগ্রাম (Sarrus Diagram) ব্যবহার করা হয়। এ পদ্ধতিতে নির্ণায়কের ভুক্তিগুলিকে পাশাপাশি দুইবার লিখে নির্ণায়কের মান নিম্নোক্তভাবে বের করা হয়।

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক

|A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}......(i)\\ = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\\ =a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}......(ii)

অন্যভাবে (ii) হতে বলা যায় {(1,1)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ১ম কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)}-{(1,2)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ২য় কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)}+{(1,3)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ৩য় কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)} সরল করলে তিন ধরনের নির্ণায়ক পাওয়া যায়।

দ্রষ্টব্য:

উল্লিখিত নিয়ম অনুসারে যেকোনো সারি বা কলাম বরাবর বিস্তৃতি করলেও নির্ণায়কের মান একই পাওয়া যাবে।
এখানে শুধুমাত্র প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃতি দেখানো হয়েছে, যেকোনো সারি বা কলাম বরাবর বিস্তৃতি করার নিয়ম নিম্নরূপ : নির্ণায়ক = নির্দিষ্ট সারি বা কলামের {(১ম চিহ্নযুক্ত ভুক্তি) (ভুক্তিটি ধারণকারী সারি ও কলাম ব্যতীত অবশিষ্ট নির্ণায়ক)} + {(২য় চিহ্নযুক্ত ভুক্তি) (ভুক্তিটি ধারণকারী সারি ও কলাম ব্যতীত অবশিষ্ট নির্ণায়ক)}+ {(৩য় চিহ্নযুক্ত ভুক্তি) (ভুক্তিটি ধারণকারী সারি ও কলাম ব্যতীত অবশিষ্ট নির্ণায়ক)}

(p,q)– তম ভুক্তির চিহ্ন = $(-1)^{p+q}$

উপরি-উক্ত নির্ণায়কটিকে তৃতীয় সারি বরাবর বিস্তৃতি করলে,

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}=(-1)^{3+1}(1)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 5 & -2 \end{vmatrix}+(-1)^{3+2}(-3)\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & -2 \end{vmatrix}+(-1)^{3+3}(4)\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 5 \end{vmatrix}\\ =(-2-5)+3(-4)+4\times 10+-7-12+40=21

আবার দ্বিতীয় কলাম বরাবর বিস্তৃতি করলে,

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}=(-1)^{1+2}(1)\begin{vmatrix} 0 & -2\\ 1 & 4 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}(5)\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 4 \end{vmatrix}+(-1)^{3+2}(-3)\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & -2 \end{vmatrix}\\ =-(2)+5(8-1)+3(-4)=-2+35-12=21

নির্ণায়কের অনুরাশি এবং সহগুণক (Minor and Cofactor of Determinant)

কোনো নির্ণায়ক D এর কোনো ভুক্তি যে সারি ও যে কলামে অবস্থিত সে সারি ও সে কলাম ব্যতীত অবশিষ্ট ভুক্তি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ককে উক্ত ভুক্তির অনুরাশি বলা হয়।

যেমন: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ নির্ণায়কের $a_{11},a_{12},a_{13}$ এর অর্থাৎ (1,1), (1,2), (1,3)–তম অনুরাশি যথাক্রমে $\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

যথাযথ চিহ্নযুক্ত কোনো ভুক্তির অনুরাশিকে সে ভুক্তির সহগুণক বলা হয়। কোনো নির্ণায়কের (r,c)–তম সহগুণকের চিহ্ন হবে $(-1)^{r+c}$ অর্থাৎ (r+c) জোড় হলে ‘+’ চিহ্ন এবং বিজোড় হলে ‘−’ চিহ্ন হবে। তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়কের চিহ্ন $\begin{vmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{vmatrix}$ অর্থাৎ কোণাকোণি অবস্থিত উপাদান ৫টি চিহ্ন ‘+’ এবং অপর ৪টির চিহ্ন ‘−’

সহগুণকের চিহ্ন সনাক্তকরণ:

কোন নির্ণায়কের যে উপাদানের সহগুণক বের করতে হলে উক্ত উপাদানটি যত নং কলাম ও যত নং সারিতে আছে তাদের যোগফল জোড় সংখ্যা হলে, সহগুণকের চিহ্ন ধনাত্মক (+ve) হবে এবং যোগফল বিজোড় হলে, চিহ্ন ঋণাত্মক (-ve) হবে।

নির্ণায়কের বিস্তৃতি :

নির্ণায়কের বিস্তৃতি বুঝানোর জন্য তৃতীয় ক্রমের একটি নির্ণায়ক বিবেচনা করি।

$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ নির্ণায়কটিকে প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করি। এ জন্য $a_1$ বরাবর কলাম ও সারি বাদ দিলে বাকি চারটি উপাদান নিয়ে একটি 2×2 ক্ৰমের নির্ণায়ক হয়, যা $a_1$ এর সাথে গুণ করি। এরপর প্রথম কলাম এর দ্বিতীয় উপাদন $a_2$ নিয়ে পূর্বের নিয়মে $a_2$ বরাবর কলাম ও সারি বাদ দিলে বাকি চারটি উপাদন দিয়ে একটি 2×2 ক্ৰমের নির্ণায়ক হয়, যার পূর্বে একটা ঋণাত্মক চিহ্ন দিয়ে $a_2$ এর সাথে গুণ করি এবং সব শেষে প্রথম কলামের শেষ বা তৃতীয় উপাদন $a_3$ নিয়ে পূর্বের নিয়মে প্রাপ্ত 2×2 ক্রমের নির্ণায়কের সাথে a3 গুণ করি। প্রাপ্ত মানগুলিই হচ্ছে নির্ণায়কটির চূড়ান্ত বিস্তৃতি। নিচে তা দেখান হল:

D=a_1\begin{vmatrix} b_2 & b_3\\ c_2 & c_3 \end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\\ =a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(c_3b_1-b_3c_1)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)\\ =(a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3)-(a_3b_2c_1+b_3c_2a_1+c_3a_2b_1)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics