বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি (Different processes of determining inverse matrix)

বিভিন্ন পদ্ধতিতে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করার উপায় (Different processes of determining Inverse Matrix)

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

(i) সমাধান পদ্ধতি (Solution method):

AX=B হলে $X=A^{-1}B$ , যেখানে A একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স, $X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$ এবং $B=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$

উদাহরণ : $A=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

মনে করি, AX=B যেখানে $X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}\\$ তাহলে $X=A^{-1}B$

এখন, $AX=B\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$

\Rightarrow 0x+y+2z=a......(i)\\ x+2y+3z=b......(ii)\\ 3x+y+z=c......(iii)

3\times (ii)-(iii)\Rightarrow 5y+8y=3b-c......(iv)\\ 5\times (i)-(iv)\Rightarrow 2z=5a-3b+c\Rightarrow z\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}c\\ (i)\Rightarrow y+5a-3b+c=a\Rightarrow y=-4a+3b-c\\ (iii)\Rightarrow 3x-4a+3b-c+\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}c=c\\ \Rightarrow 3x=\Big(4-\frac{5}{2}\Big)a+\Big(-3+\frac{3}{2}\Big)b+\Big(2-\frac{1}{2}\Big)c\Rightarrow 3x=\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{3}{2}c\Rightarrow x=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c

$\therefore \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2\\ -4 & 3 & -1\\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ কাজেই $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2\\ -4 & 3 & -1\\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1\\ 8 & -6 & 2\\ -5 & 3 & -2 \end{bmatrix}$

(ii) অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (Adjoint matrix method):

কোনো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স A এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্সকে তার নির্ণায়ক A মান দ্বারা ভাগ করে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় অর্থাৎ কোনো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স A দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক এর সহগুণকসমূহ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সের কলামের সারিতে এবং সারিকে কলামে পরিণত করে সৃষ্ট ম্যাট্রিক্সকে নির্ণায়ক A এর মান দ্বারা ভাগ করে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় । সুতরাং ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}=\frac{adj (A)}{|A|}\frac{}{}$

উদাহরণ : $A=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 2\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 2\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $|A|=3(1+0)+4(-2+0)+2(2+1)=3-8+6=1$

adj(A)=\begin{bmatrix} 1+0 & 0+2 & 2+1\\ -2+4 & 3+2 & -4+3\\ 0-2 & 4-0 & 3-8 \end{bmatrix}^T-\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & -1\\ -2 & -4 & -5 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 5 & -4\\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 5 & -4\\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 5 & -4\\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}

(iii) ব্লক ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (Block matrix method):

$A=(a_{ij})_{n\times n}$ একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে ব্লক ম্যাট্রিক্স $[A|I_n]$ কে সমতুল্য ম্যাট্রিক্স $[I_n|B]$ তে পরিণত করা যায়, যেখানে $B=A^{-1}$ হবে।

উদাহরণ :- $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, $[A|I]=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1}\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\xrightarrow[]{r_2-r_3} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] \xrightarrow[]{r_3-r_2} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ -2 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] \xrightarrow[]{r_2-r_3} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] \xrightarrow[]{(-r_3)} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 1& 0 & 0\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right]=[I|A^{-1}]$

∴A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

সত্যতা যাচাই : ম্যাট্রিক্স গুণনের সাহায্যে প্রমাণ করা যায় যে, $A.A^{-1}=A^{-1}.A=I_3$

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য (Properties of Inverse Matrix)

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$(BA)A^{-1}=B(AA^{-1})=B$
$I=I^{-1}=I_n$
$AB=C\Rightarrow A=CB^{-1} এবং B=A^{-1}C$

[MCQ এর জন্য: $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics