বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি (Different processes of determining inverse matrix)
বিভিন্ন পদ্ধতিতে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করার উপায় (Different processes of determining Inverse Matrix)
(i) সমাধান পদ্ধতি (Solution method): AX=B হলে X = A − 1 B X=A^{-1}B X = A − 1 B , যেখানে A একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স X = [ x y z ] X=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} X = ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ এবং B = [ a b c ] B=\begin{bmatrix}
a\\
b\\
c
\end{bmatrix} B = ⎣ ⎡ a b c ⎦ ⎤
উদাহরণ : A = ∣ 0 1 2 1 2 3 3 1 1 ∣ A=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 2\\
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 1
\end{vmatrix} A = ∣ ∣ 0 1 3 1 2 1 2 3 1 ∣ ∣ হলে A − 1 A^{-1} A − 1 নির্ণয় কর।
মনে করি, AX=B যেখানে X = [ x y z ] B = [ a b c ] X=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}
a\\
b\\
c
\end{bmatrix}\\ X = ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ B = ⎣ ⎡ a b c ⎦ ⎤ তাহলে X = A − 1 B X=A^{-1}B X = A − 1 B
এখন, A X = B ⇒ [ 0 1 2 1 2 3 3 1 1 ] [ x y z ] = [ a b c ] AX=B\Rightarrow \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2\\
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a\\
b\\
c
\end{bmatrix} A X = B ⇒ ⎣ ⎡ 0 1 3 1 2 1 2 3 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ a b c ⎦ ⎤
⇒ 0 x + y + 2 z = a . . . . . . ( i ) x + 2 y + 3 z = b . . . . . . ( i i ) 3 x + y + z = c . . . . . . ( i i i ) \Rightarrow 0x+y+2z=a......(i)\\
x+2y+3z=b......(ii)\\
3x+y+z=c......(iii) ⇒ 0 x + y + 2 z = a ...... ( i ) x + 2 y + 3 z = b ...... ( ii ) 3 x + y + z = c ...... ( iii ) 3 × ( i i ) − ( i i i ) ⇒ 5 y + 8 y = 3 b − c . . . . . . ( i v ) 5 × ( i ) − ( i v ) ⇒ 2 z = 5 a − 3 b + c ⇒ z 5 2 a − 3 2 b + 1 2 c ( i ) ⇒ y + 5 a − 3 b + c = a ⇒ y = − 4 a + 3 b − c ( i i i ) ⇒ 3 x − 4 a + 3 b − c + 5 2 a − 3 2 b + 1 2 c = c ⇒ 3 x = ( 4 − 5 2 ) a + ( − 3 + 3 2 ) b + ( 2 − 1 2 ) c ⇒ 3 x = 3 2 a − 3 2 b + 3 2 c ⇒ x = 1 2 a − 1 2 b + 1 2 c 3\times (ii)-(iii)\Rightarrow 5y+8y=3b-c......(iv)\\
5\times (i)-(iv)\Rightarrow 2z=5a-3b+c\Rightarrow z\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}c\\
(i)\Rightarrow y+5a-3b+c=a\Rightarrow y=-4a+3b-c\\
(iii)\Rightarrow 3x-4a+3b-c+\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}c=c\\
\Rightarrow 3x=\Big(4-\frac{5}{2}\Big)a+\Big(-3+\frac{3}{2}\Big)b+\Big(2-\frac{1}{2}\Big)c\Rightarrow 3x=\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{3}{2}c\Rightarrow x=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c 3 × ( ii ) − ( iii ) ⇒ 5 y + 8 y = 3 b − c ...... ( i v ) 5 × ( i ) − ( i v ) ⇒ 2 z = 5 a − 3 b + c ⇒ z 2 5 a − 2 3 b + 2 1 c ( i ) ⇒ y + 5 a − 3 b + c = a ⇒ y = − 4 a + 3 b − c ( iii ) ⇒ 3 x − 4 a + 3 b − c + 2 5 a − 2 3 b + 2 1 c = c ⇒ 3 x = ( 4 − 2 5 ) a + ( − 3 + 2 3 ) b + ( 2 − 2 1 ) c ⇒ 3 x = 2 3 a − 2 3 b + 2 3 c ⇒ x = 2 1 a − 2 1 b + 2 1 c ∴ [ x y z ] = [ 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 − 4 3 − 1 5 / 2 − 3 / 2 1 / 2 ] [ a b c ] \therefore \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1/2 & -1/2 & 1/2\\
-4 & 3 & -1\\
5/2 & -3/2 & 1/2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a\\
b\\
c
\end{bmatrix} ∴ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1/2 − 4 5/2 − 1/2 3 − 3/2 1/2 − 1 1/2 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ a b c ⎦ ⎤ A − 1 = [ 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 − 4 3 − 1 5 / 2 − 3 / 2 1 / 2 ] = − 1 2 [ − 1 1 − 1 8 − 6 2 − 5 3 − 2 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
1/2 & -1/2 & 1/2\\
-4 & 3 & -1\\
5/2 & -3/2 & 1/2
\end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
-1 & 1 & -1\\
8 & -6 & 2\\
-5 & 3 & -2
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 1/2 − 4 5/2 − 1/2 3 − 3/2 1/2 − 1 1/2 ⎦ ⎤ = − 2 1 ⎣ ⎡ − 1 8 − 5 1 − 6 3 − 1 2 − 2 ⎦ ⎤
(ii) অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (Adjoint matrix method): কোনো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স A এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্সকে তার নির্ণায়ক A মান দ্বারা ভাগ করে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় অর্থাৎ কোনো অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স A দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক এর সহগুণকসমূহ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সের কলামের সারিতে এবং সারিকে কলামে পরিণত করে সৃষ্ট ম্যাট্রিক্সকে নির্ণায়ক A এর মান দ্বারা ভাগ করে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় । সুতরাং ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স A − 1 = a d j ( A ) ∣ A ∣ A^{-1}=\frac{adj (A)}{|A|}\frac{}{} A − 1 = ∣ A ∣ a d j ( A )
উদাহরণ : A = [ 3 − 4 2 − 2 1 0 − 1 − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}
3 & -4 & 2\\
-2 & 1 & 0\\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 − 2 − 1 − 4 1 − 1 2 0 1 ⎦ ⎤ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
সমাধান:
A = [ 3 − 4 2 − 2 1 0 − 1 − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}
3 & -4 & 2\\
-2 & 1 & 0\\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 − 2 − 1 − 4 1 − 1 2 0 1 ⎦ ⎤ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক ∣ A ∣ = 3 ( 1 + 0 ) + 4 ( − 2 + 0 ) + 2 ( 2 + 1 ) = 3 − 8 + 6 = 1 |A|=3(1+0)+4(-2+0)+2(2+1)=3-8+6=1 ∣ A ∣ = 3 ( 1 + 0 ) + 4 ( − 2 + 0 ) + 2 ( 2 + 1 ) = 3 − 8 + 6 = 1
a d j ( A ) = [ 1 + 0 0 + 2 2 + 1 − 2 + 4 3 + 2 − 4 + 3 0 − 2 4 − 0 3 − 8 ] T − [ 1 2 3 2 5 − 1 − 2 − 4 − 5 ] T = [ 1 2 − 2 2 5 − 4 3 − 1 − 5 ] adj(A)=\begin{bmatrix}
1+0 & 0+2 & 2+1\\
-2+4 & 3+2 & -4+3\\
0-2 & 4-0 & 3-8
\end{bmatrix}^T-\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & -1\\
-2 & -4 & -5
\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}
1 & 2 & -2\\
2 & 5 & -4\\
3 & -1 & -5
\end{bmatrix} a d j ( A ) = ⎣ ⎡ 1 + 0 − 2 + 4 0 − 2 0 + 2 3 + 2 4 − 0 2 + 1 − 4 + 3 3 − 8 ⎦ ⎤ T − ⎣ ⎡ 1 2 − 2 2 5 − 4 3 − 1 − 5 ⎦ ⎤ T = ⎣ ⎡ 1 2 3 2 5 − 1 − 2 − 4 − 5 ⎦ ⎤ A − 1 = 1 ∣ A ∣ a d j ( A ) = 1 1 [ 1 2 − 2 2 5 − 4 3 − 1 − 5 ] = [ 1 2 − 2 2 5 − 4 3 − 1 − 5 ] A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}
1 & 2 & -2\\
2 & 5 & -4\\
3 & -1 & -5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 2 & -2\\
2 & 5 & -4\\
3 & -1 & -5
\end{bmatrix} A − 1 = ∣ A ∣ 1 a d j ( A ) = 1 1 ⎣ ⎡ 1 2 3 2 5 − 1 − 2 − 4 − 5 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 2 3 2 5 − 1 − 2 − 4 − 5 ⎦ ⎤
(iii) ব্লক ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (Block matrix method): A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n\times n} A = ( a ij ) n × n [ A ∣ I n ] [A|I_n] [ A ∣ I n ] কে সমতুল্য ম্যাট্রিক্স [ I n ∣ B ] [I_n|B] [ I n ∣ B ] তে পরিণত করা যায়, যেখানে B = A − 1 B=A^{-1} B = A − 1 হবে।
উদাহরণ :- A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
সমাধান: এখানে, [ A ∣ I ] = [ 1 0 0 1 0 1 1 1 0 ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] → r 3 − r 1 r 2 − r 1 [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ∣ 1 0 0 − 1 1 0 − 1 0 1 ] → r 2 − r 3 [ 1 0 0 0 1 1 0 1 0 ∣ 1 0 0 − 1 0 1 1 − 1 0 ] → r 3 − r 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ∣ 1 0 0 − 2 1 1 1 − 1 0 ] → r 2 − r 3 [ 1 0 0 0 1 1 0 0 − 1 ∣ 1 0 0 − 1 0 1 1 − 1 0 ] → ( − r 3 ) [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ∣ 1 0 0 − 1 1 1 1 − 1 0 ] = [ I ∣ A − 1 ] [A|I]=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
1& 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1}\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1
\end{matrix}\right]\xrightarrow[]{r_2-r_3} \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{matrix}\right] \xrightarrow[]{r_3-r_2} \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
-2 & 1 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{matrix}\right] \xrightarrow[]{r_2-r_3} \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 1 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{matrix}\right] \xrightarrow[]{(-r_3)} \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
1& 0 & 0\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{matrix}\right]=[I|A^{-1}] [ A ∣ I ] = ⎣ ⎡ 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ∣ ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ r 2 − r 1 r 3 − r 1 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ∣ ∣ 1 − 1 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ r 2 − r 3 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 1 0 1 0 ∣ ∣ 1 − 1 1 0 0 − 1 0 1 0 ⎦ ⎤ r 3 − r 2 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ∣ ∣ 1 − 2 1 0 1 − 1 0 1 0 ⎦ ⎤ r 2 − r 3 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 1 − 1 ∣ ∣ 1 − 1 1 0 0 − 1 0 1 0 ⎦ ⎤ ( − r 3 ) ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ∣ ∣ 1 − 1 1 0 1 − 1 0 1 0 ⎦ ⎤ = [ I ∣ A − 1 ]
∴A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স A − 1 = [ 1 0 0 − 1 0 1 − 1 1 0 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 1 − 1 − 1 0 0 1 0 1 0 ⎦ ⎤
সত্যতা যাচাই : ম্যাট্রিক্স গুণনের সাহায্যে প্রমাণ করা যায় যে, A . A − 1 = A − 1 . A = I 3 A.A^{-1}=A^{-1}.A=I_3 A . A − 1 = A − 1 . A = I 3
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য (Properties of Inverse Matrix)
( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A ( A − 1 ) − 1 = A ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( B A ) A − 1 = B ( A A − 1 ) = B (BA)A^{-1}=B(AA^{-1})=B ( B A ) A − 1 = B ( A A − 1 ) = B I = I − 1 = I n I=I^{-1}=I_n I = I − 1 = I n A B = C ⇒ A = C B − 1 এবং B = A − 1 C AB=C\Rightarrow A=CB^{-1} এবং B=A^{-1}C A B = C ⇒ A = C B − 1 এবং B = A − 1 C
[MCQ এর জন্য: [ a b c d ] \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} [ a c b d ] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স 1 a d − b c [ d − b − c a ] [ a 0 0 0 b 0 0 0 c ] \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c
\end{bmatrix} a d − b c 1 [ d − c − b a ] ⎣ ⎡ a 0 0 0 b 0 0 0 c ⎦ ⎤
এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ
HSC 25 অনলাইন ব্যাচ ২.০ (বাংলা, ইংরেজি, তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি) HSC 26 অনলাইন ব্যাচ (বাংলা, ইংরেজি, তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি) HSC 25 অনলাইন ব্যাচ (ফিজিক্স, কেমিস্ট্রি, ম্যাথ, বায়োলজি) HSC 26 অনলাইন ব্যাচ (ফিজিক্স, কেমিস্ট্রি, ম্যাথ, বায়োলজি) মেডিকেল এডমিশন কোর্স – ২০২৪ ঢাকা ভার্সিটি A Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ ঢাকা ভার্সিটি B Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ বুয়েট কোশ্চেন সলভ কোর্স গুচ্ছ A Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ গুচ্ছ B Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪
আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ
১ ০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com
