লরেঞ্জ-এর রূপান্তর (Lorentz’s transformation)

লরেঞ্জ-এর রূপান্তর (Lorentz’s transformation)

যে রূপান্তর সূত্র প্রয়োগে বিদ্যুৎ চুম্বকীয় সমীকরণ এক জড় কাঠামো থেকে অন্য কাঠামোতে নিলে অভিন্নরূপে প্রকাশিত হয় তা লরেঞ্জ রূপান্তর সূত্র (Lorentz’s transformation) নামে পরিচিত।

লরেঞ্জ-এর রূপান্তর সূত্র (Lorentz’s transformation) বা সমীকরণ নিম্নলিখিত দুটি স্বীকার্যের ওপর প্রতিষ্ঠিত।

স্বীকার্য (১): পদার্থবিদ্যার সূত্রগুলো সকল অভ্যন্তরীণ কাঠামোয় অভিন্ন থাকে, তবে কাঠামোগুলোকে পরস্পরের সাপেক্ষে সমবেগে গতিশীল থাকতে হবে।

স্বীকার্য (২): শূন্যস্থানে আলোর বেগ সর্বদা ধ্রুব থাকে, এটি একটি অভ্যন্তরীণ কাঠামো হতে অন্যটিতে রূপান্তরিত হলেও মান অপরিবর্তিত থাকে এবং আলোর এই বেগ $c = 3 \times 10^8 ms^{-1}$। এই মান দর্শকের স্থিতি বা গতিশীলতার ওপর নির্ভর করে না।

উপরোক্ত স্বীকার্যের ভিত্তিতে লরেন্জ নতুন রূপান্তর সমীকরণ আবিষ্কার করেন যা লরেন্জ সমীকরণ (Lorentz’s transformation equation ) নামে পরিচিত। নিম্নে লরেঞ্জের রূপান্তর সমীকরণসমূহ প্রতিপাদন করা হলো।

ধরা যাক দুটি কাঠামো S এবং S’-এ দুজন পর্যবেক্ষক A এবং A’ রয়েছে। S কাঠামো সাপেক্ষে কাঠামো S’ ধনাত্মক X অক্ষ বরাবর ϑ সমবেগে গতিশীল। মনে করি, কাঠামো দুটি t = 0 সময়ে একই অবস্থানে রয়েছে। এ অবস্থায় একটি ঘটনা, মনে করা যাক একটি আলোক স্ফুলিঙ্গ (pulse) তরঙ্গমুখ সৃষ্টি করা হলো। এভাবে সৃষ্ট তরঙ্গমুখ সময়ের পরিবর্তনের সঙ্গে বর্ধিত গোলীয় আকারে প্রসারিত হতে থাকবে। t সময় পরে স্থির কাঠামো S-এর পর্যবেক্ষক A দেখবে যে তরঙ্গমুখ P বিন্দুতে পৌঁছেছে। A পর্যবেক্ষকের নিকট P বিন্দুর দূরত্ব হবে, 

$\text {r} = \text {c t}$ … …         (1) 

আবার, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

$\therefore \mathrm{r}^{2}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=\mathrm{c}^{2} \mathrm{t}^{2}$        …       …      (2)

S’ কাঠামোর পর্যবেক্ষকের কাছে P বিন্দুর দূরত্ব হবে,

$r^{\prime}=\mathrm{ct}^{\prime}$        …         …             (3)

S’ কাঠামোর সাপেক্ষে,

$r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2} t^{\prime 2}$       …            …          (4)

এখন আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের ১ম স্বীকার্য অনুসারে উভয় কাঠামোয় পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণগুলো অভিন্ন হবে।

অর্থাৎ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2} t^{2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2} t^{\prime 2}$   …                 …               (5)

এখন Y এবং Z অক্ষ বরাবর গতি না থাকার কারণে, y’ = y এবং z’ = z হবে।

অতএব, সমীকরণ (5) থেকে,

$x^{2}-c^{2} t^{2}=x^{\prime 2}-c^{2} t^{\prime 2}$                    …                      …      (6)

এখন x এবং x’ এর রূপান্তর সমীকরণ নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়

$\mathrm{X}^{\prime}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-\vartheta \mathrm{t})$                     …                   …   (7)

এখানে k ধ্রুবক। সমীকরণ (7) এর যৌক্তিকতা হলো এই যে স্বল্পমাত্রার বেগ $(\vartheta \text { << c). }$-এর জন্য রূপান্তর অবশ্যই গ্যালিলিয় রূপান্তরের রূপ নেবে।

অনুরূপভাবে, ধরা যায়,

$\mathrm{t}^{\prime}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-b x)$                    …                 …   (8)

এখানে a ও b উভয়ই ধ্রুব।

সমীকরণ (6)- এ x’ এবং t’- এর মান বসিয়ে পাওয়া যায়, 

$\mathrm{x}^{2}-\mathrm{c}^{2} \mathrm{t}^{2}=\mathrm{k}^{2}(\mathrm{x}-\vartheta \mathrm{t})^{2}-\mathrm{c}^{2} \mathrm{a}^{2}(\mathrm{t}-b x)^{2}$

বা, $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{c}^{2} \mathrm{t}^{2}=\left(\mathrm{k}^{2}-\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}^{2}\right) \mathrm{x}^{2}-2\left(\mathrm{k}^{2} \vartheta-\mathrm{a}^{2} \mathrm{bc}^{2}\right) x \mathrm{t}-\left(a^{2}-\frac{\mathrm{k}^{2} \vartheta^{2}}{\mathrm{c}^{2}}\right) \mathrm{c}^{2} \mathrm{t}^{2}$     …     (9)

$\left.\begin{array}{c} \mathrm{k}^{2}-\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}^{2}=1 \\ \mathrm{k}^{2} \vartheta-\mathrm{a}^{2} \mathrm{bc}^{2}=0 \\ a^{2}-\frac{\mathrm{k}^{2} \vartheta^{2}}{\mathrm{c}^{2}}=1 \end{array}\right\}$     …     (10)

সমীকরণ (10) সমাধান করে, আমরা পাই, 

$\mathrm{k}=\mathrm{a}=\frac{1}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$         …               …       (11)

এবং $\mathbf{b}=\frac{\vartheta}{c^{2}}$            …            …         (12)

এখন, সমীকরণ (7) ও (8)–এ k, a এবং b-এর মান বসিয়ে পাওয়া যাবে, 

$\begin{array}{l} \mathrm{x}^{\prime}=\frac{\mathrm{X}-\vartheta \mathrm{t}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} \\ \text {এবং} \mathrm{t}^{\prime}=\frac{\mathrm{t}-\vartheta x / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} \end{array}$

সুতরাং S’ কাঠামোর স্থানাঙ্কগুলো S কাঠামোর স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে লেখা যায়,  

$x^{\prime}=\frac{x-\vartheta t}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$             …             …            (13)

$\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{y}$          …            …            (14) 

$\mathrm{z}^{\prime}=\mathrm{z}$          …             …               (15)

এবং $\mathrm{t}^{\prime}=\frac{\mathrm{t}-\vartheta x / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$          …              …            (16)

এই সমীকরণগুলোই লরেঞ্জ-এর রূপান্তর সমীকরণ(Lorentz’s transformation) নামে পরিচিত। 1930 সালে এইচ এ লরেঞ্জ এর চৌম্বক তত্ত্বের মধ্য দিয়ে এই সমীকরণগুলি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল বলে এদেরকে লরেঞ্জ রূপান্তর (Lorentz’s transformation)বলা হয়।

পুনঃ যদি কাঠামোর আপেক্ষিক বেগ ϑ  আলোকের বেগের তুলনায় খুবই ছোট হয়, অর্থাৎ ϑ ≪ c,  তাহলে সমীকরণ (13) এবং (16) নিম্নরূপে রূপান্তর হবে

$\mathrm{x}^{\prime}=\frac{\mathrm{x}-\vartheta \mathrm{t}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$ $=\mathrm{x}-\vartheta \mathrm{t} \quad\left[\because \vartheta^{2} / c^{2} \ll 1\right]$

এবং $\mathrm{t}^{\prime}=\mathrm{t}-\vartheta x / c^{2}$

এগুলো গ্যালিলিওর রূপান্তর সমীকরণ মাত্র। সুতরাং ওপরের আলোচনা থেকে এটা স্পষ্ট যে আপেক্ষিক বেগ আলোকের বেগের মানের কাছাকাছি না হলে আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব হতে প্রাপ্ত ফলাফল পরিমাপযোগ্য হবে না। সেক্ষেত্রে সনাতন ধারণাই বলবৎ থাকবে। যখন বস্তুর দ্রুতি আলোর দ্রুতির কাছাকাছি কখনই লরেঞ্জ রূপান্তর প্রয়োগ করা হয়।

বিপরীত লরেঞ্জ রূপান্তর (Inverse Lorentz’s transformation)

আমরা যদি S’ কাঠামোর পরিমাপকে S কাঠামোর পরিমাপে রূপান্তরিত করতে চাই তাহলে এর স্থলে – বসাতে হবে এবং x’, y’, z’, t’ এবং x, y, z, t কে পরস্পর বিনিময় করতে হবে। এভাবে যে রূপান্তর পাওয়া যায় তা হলো বিপরীত লরেঞ্জ রূপান্তর (Inverse Lorentz transformation)।

বিপরীত লরেঞ্জ রূপান্তর সমীকরণগুলো (Lorentz’s transformation) হলো,

$x=\frac{x^{\prime}+\vartheta \dagger^{\prime}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$              …            …                        [17(a)]

$y=y^{\prime}$                    …            …                        [18(a)]

$z=z^{\prime}$                    …            …                         [19(a)]

$\mathrm{t}=\frac{\mathrm{t}^{\prime}+\vartheta x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}$              …            …                         [20(a)]