৩৩ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (33rd BCS Preli Question Bank)

প্রশ্নানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজটির লম্ব ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. ছোট। অর্থাৎ, (x-2) সে.মি. এবং সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. বড়। অর্থাৎ, (x+2) সে.মি. \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

অতিভুজ^2 = লম্ব^2 + ভূমি^2 \\[3px]

বা, (x+2)^2 = (x-2)^2 + x^2 \\[3px]

বা, (x-2)^2 + x^2 = (x+2)^2 \\[3px]

বা, x^2 = (x+2)^2 – (x-2)^2 \\[3px]

বা, x^2 = 4 \times x \times 2 [ \space \because \space (a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab ] \\[3px]

বা, x^2 = 8x \\[3px]

বা, \frac{x^2} {x} = \frac{8x} {x} [ \space \because \space উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে পাই ] \\[3px]

\therefore x = 8 সে.মি. \\[5px]

\therefore অতিভুজ = (x+2) সে.মি. = (8 + 2) সে.মি. = 10 সে.মি. \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore m সংখ্যক সংখ্যার যোগফল বা সমষ্টি = m \times x = mx \\[3px]

\therefore n সংখ্যক সংখ্যার যোগফল বা সমষ্টি = n \times y = ny \\[5px]

এখন, m + n সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = mx + ny এবং মোট সংখ্যা = m + n \\[5px]

\therefore সবগুলো সংখ্যার গড় = \frac{m + n \space সংখ্যক \space সংখ্যার \space সমষ্টি} {মোট \space সংখ্যা} = \frac{mx + ny} {m + n} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

একটি সাবানের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি, ৪ সে.মি ও ১.৫ সে.মি. \\[5px]

\therefore একটি বাক্সের আয়তন = (৫৫ \times ৪৮ \times ৩০) ঘন সে.মি. \\[3px]

\therefore একটি সাবানের আয়তন = (৫ \times ৪ \times ১.৫) ঘন সে.মি. = ৩০ ঘন সে.মি. \\[5px]

\therefore সাবানের সংখ্যা = \frac{একটি \space বাক্সের \space আয়তন} {একটি \space সাবানের \space আয়তন} = \frac{৫৫ \times ৪৮ \times  ৩০ ঘন সে.মি.} {৩০ ঘন সে.মি.} = ২৬৪০ টি \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore A \cap B = {5, 15, 20, 30} \cap { 3, 5, 15, 18, 20 } \\[3px]

\therefore A \cap B = {5, 15, 20} \bm { \left[ Ans.\right] }

প্রশ্নানুযায়ী, \\[3px]

সময়, n = 7 \frac{1}{2} = \frac{15}{2} \\[3px]

সুদ, I = আসল এর 1 \frac{1}{4} বা, আসল এর \frac{5}{4} = P \times \frac{5}{4} = \frac{5P}{4} \\[5px]

\therefore r = \frac{I}{Pn} \times 100 \\[3px]</p> <p>\implies r = \frac{\frac{5P}{4}}{P \times \frac {15}{2}} \times 100 \\[3px]</p> <p>\implies r = \frac{\frac{5P}{4}}{\frac {15P}{2}} \times 100 \\[3px]</p> <p>\implies r = \frac{5P}{4} \times \frac{2}{15P} \times 100 \\[3px]</p> <p>\therefore r = \frac{50}{8} \% বা, ১৬ \frac{২}{৩} % \\[5px]

সুতরাং ব্যাংকের সুদের হার ১৬ \frac{২}{৩} % \\[5px]

বি.দ্র. : প্রশ্নে আসলের পরিমাণ অনেক বড় একটি সংখ্যা। এটি মুখে মুখে হিসেব করাটি কঠিন হবে এবং বেশ কিছু সময় প্রয়োজন হবে। তাই এটি যেহুতু MCQ প্রশ্ন, সেহুতু আসলের পরিমাণটি সরাসরি ব্যবহার না করে, আসলের পরিমাণটিকে “P” ধরে হিসেব করা হয়েছে।

ধরি, ত্রিভুজটির অপর কোণ= x \degree \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

যেকোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০ \degree \\[3px]

বা, \angle {x} + ৩৫ \degree + ৫৫ \degree = ১৮০ \degree \\[3px]

বা, \angle {x} + ৯০ \degree = ১৮০ \degree \\[3px]

বা, \angle {x} = ১৮০ \degree - ৯০ \degree \\[3px]

\therefore \angle {x} = ৯০ \degree \\[5px]

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের কোণের মান ৯০ \degree হলে, তা হচ্ছে সমকোণী ত্রিভুজ। যেহুতু x কোণের মান ৯০ \degree , তাই উক্ত ত্রিভুজটি হচ্ছে সমকোণী ত্রিভুজ।"

x + 2y = 3 \mathellipsis \space \mathellipsis (ii) \\[5px]

এখন, x এর মান (ii)-নং এ বসিয়ে পাই, \\[3px]

y + 2y = 3 \\[3px]

বা, 3y = 3 \\[3px]

বা, y = \frac{3} {3} \\[3px]

\therefore y = 1 \\[5px]

এখন, y এর মান (i)-নং এ বসিয়ে পাই, \\[3px]

x = 1 \\[3px]

\therefore (x,y) = (1, 1) \bm { \left[ Ans.\right] } "

\therefore আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক \\[3px]

= 2(x + \frac{2x}{3} ) মিটার \\[3px]

= 2 ( \frac{3x + 2x}{3} ) মিটার \\[3px]

= 2 \times \frac{5x}{3} মিটার \\[3px]

= \frac{10x}{3} মিটার \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 40 মিটার \\[5px]

প্রশ্নমতে, \\[5px]

\frac{10x}{3} = 40 \\[3px]

বা, 10x = 40 \times 3 \\[3px]

বা, 10x = 120 \\[3px]

বা, x = \frac{120}{10} \\[3px]

\therefore x = 12 \\[5px]

\therefore দৈর্ঘ্য, x = 12 মিটার \\[3px]

প্রস্থ = \frac{2x}{3} মিটার = \frac{2 \times 12}{3} \space মিটার = \frac{24}{3} \space মিটার = 8 মিটার \\[5px]

\therefore আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (12 \times 8) বর্গ মিটার = 96 বর্গ মিটার \bm { \left[ Ans.\right] }

ঘনকের আয়তন = ( ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^৩ ঘন একক \\[5px]

প্রথম ঘনকের আয়তন = ৩^{৩} ঘন সে.মি = ২৭ ঘন সে.মি \\[3px]

দ্বিতীয় ঘনকের আয়তন = ৪^{৩} ঘন সে.মি = ৬৪ ঘন সে.মি \\[3px]

তৃতীয় ঘনকের আয়তন = ৫^{৩} ঘন সে.মি = ১২৫ ঘন সে.মি \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হয়। তাহলে, \\[3px]

নতুন ঘনকটির আয়তন = (প্রথম ঘনকের আয়তন + দ্বিতীয় ঘনকের আয়তন + তৃতীয় ঘনকের আয়তন) ঘন একক = (২৭ + ৬৪ + ১২৫) ঘন সে.মি = ২১৬ ঘন সে.মি \\[5px]

ধরি, নতুন ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. \\[3px]

\therefore নতুন ঘনকের আয়তন = a^৩ ঘন সে.মি. \\[3px]

প্রশ্নমতে, a^৩ = ২১৬ \\[3px]

বা, a = \sqrt[৩]{২১৬} \\[3px]

\therefore a = ৬ সে.মি. \\[5px]

সুতরাং, নতুন ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি. \bm { \left[ Ans.\right] } "

আমরা জানি, \\[3px]

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ( \frac{১}{২} \times কর্ণদ্বয়ের গুণফল ) বর্গ একক = ( \frac{১}{২} \times ৮ \times ৯ ) বর্গ সে.মি. = \frac{৭২}{২} বর্গ সে.মি. = ৩৬ বর্গ সে.মি. \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = রম্বসের ক্ষেত্রফল \\[3px]

বা, (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^২ = ৩৬ \\[3px]

বা, এক বাহুর দৈর্ঘ্য = \sqrt{৩৬} \\[3px]

\therefore এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬ সে.মি. \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ( ৪ \times এক বাহুর দৈর্ঘ্য ) একক = ( ৪ \times ৬ ) সে.মি. = ২৪ সে.মি. \bm { \left[ Ans.\right] }