10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math HSC 1st Paper Chapter 03: সরলরেখা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র (Forumla for Area of Triangle)

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক দেয়া আছে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

মনে করি, \Delta ABC  এর শীর্ষবিন্দুগুলি \left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)

A, B, C বিন্দু থেকে x – অক্ষের উপর যথাক্রমে AM, \mathrm{BL}, \mathrm{CN} লম্ব আঁকি। তাহলে, L N=O N-O L=x_{3}-x_{2} 

L M=O M-O L=x_{1}-x_{2} 9 এবং M N=O N-O M=x_{3}-x_{1}

∴ ∆ABC এর ক্ষেত্রফল, ট্রাপিজিয়াম ABLM এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম AMNC এর ক্ষেত্রফল – ট্রাপিজিয়াম BLNC এর ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}(A M+B L) \cdot L M+\frac{1}{2}(A M+C N) \cdot M N-\frac{1}{2}(B L+C N) \cdot L N =\frac{1}{2}\left\{\left(y_{1}+y_{2}\right) \cdot\left(x_{1}-x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{3}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)-\left(y_{2}+y_{3}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\right\}

=\frac{1}{2}\left\{x_{1}\left(y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{2}+y_{3}-y_{1}-y_{2}\right)+x_{3}\left(y_{1}+y_{3}-y_{2}-y_{3}\right)\right\}

\therefore \Delta A B C এর ক্ষেত্রফল, =\frac{1}{2}\left\{x_{1}\left(y_{2}-y_{1}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right\} 

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|  [নির্ণায়কের সাহায্যে প্রকাশ করে]………(ii)

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{llll}x_{1} & -x_{2} & x_{3} & -x_{1} \\ y_{1} & -y_{2} & y_{3} & -y_{1}\end{array}\right|\\ =\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}|+| \begin{array}{ll}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3}\end{array}|+| \begin{array}{ll}x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1}\end{array} \mid\right\}\\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{llll}x_{1} & -x_{2} & x_{3} & -x_{1} \\ y_{1} & -y_{2} & y_{3} & -y_{1}\end{array}\right|\\

=\frac{1}{2}\left\{\left|\begin{array}{ll}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1}\end{array}\right|\right\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (iii)

তদ্রুপ, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right), D\left(x_{4}, y_{4}\right) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}\left\{\left|\begin{array}{ll} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{3} & y_{3} \\ x_{1} & y_{1} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} x_{4} & y_{4} \\ x_{1} & y_{1} \end{array}\right|\right\} . . (iii)

নির্ণায়কের সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সময় শীর্ষবিন্দুগুলি ঘড়ির কাটার উল্টা দিকে বা ঘড়ির কাটার দিকে নিলে ক্ষেত্রফল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত হবে। কিন্তু পরমমান একই হবে।

 

এখানে,  \delta_{A B C}=\left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right|

=\left|\begin{array}{llll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{1} \end{array}\right| \therefore \Delta A B C=\frac{1}{2} \delta_{A B C}

              =\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+x_{3} y_{1}-y_{1} x_{2}-y_{2} x_{3}-y_{3} x_{1}\right|

              =\frac{1}{2}\left|\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{2}-y_{3}\right)-\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)\right|

\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{3}, y_{3}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots\left(x_{n}, y_{n}\right) শীর্ষ দ্বারা গঠিত বহুভুজের ক্ষেত্রফল,

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lllllll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & \ldots & \ldots & x_{n} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & \cdots & \cdots & \cdots & y_{n} & y_{1} \end{array}\right| =\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+\cdots x n y_{1}-y_{1} x_{2}-y_{2} x_{3}-\cdots y n x_{1}\right|
  • \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে যদি ও কেবল যদি এ বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়। 

অর্থাৎ, \delta_{A B C}=0

\Rightarrow\left|\begin{array}{llll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{1} \end{array}\right|=0

(a) C এবং D বিন্দু দুইটি AB রেখার একই পার্শে হলে,

\delta_{A B C} \times \delta_{A B D}> 0

(b) C এবং D বিন্দু দুইটি AB রেখার বিপরীত পার্শে হলে,

\delta_{A B C} \times \delta_{A B D} < 0
  • AB রেখাটি CD রেখাংশের E বিন্দুতে m_{1}: m_{2} অনুপাতে বিভক্ত করলে,

\frac{C E}{D E}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\delta_{A B C}}{\delta_{A B D}}

প্রমান, AB এর উপর CN ও DM লম্ব হলে,  \Delta C N E \text { ও } \Delta D M E  সদৃশ।

\therefore \frac{C N}{D M}=\frac{C E}{D E}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \quad \therefore \frac{\Delta A B C}{\Delta A B D}=\frac{\frac{1}{2} \delta_{A B C}}{\frac{1}{2} \delta_{A B D}}

                                          \Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\delta_{A B C}}{\delta_{A B D}}  অনুপাত যথাক্রমে (-) ও (+) এর জন্য AB রেখাটি CD রেখাংশকে E বিন্দুতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত করবে।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র কাকে বলে এবং নির্ণয় পদ্ধতি (Centroid of Triangle)

মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) \text { এবং } C\left(x_{3}, y_{3}\right) ; ; BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F. এখন AD, BE, CF মধ্যমাত্রয় অঙ্কন করলে তারা পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করবে। G বিন্দুটিকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলা হয় এবং তা প্রত্যেক মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

এখন BC এর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাংক \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)

ধরি G এর স্থানাংক (x, y).     ∴  AG : GD = 2 : 1

\therefore \mathrm{x}=\frac{2 \cdot \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1 \cdot x_{1}}{2+1}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

এবং, y=\frac{2 \cdot \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1 \cdot y_{1}}{2+1}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

সুতরাং, \Delta ABC  এর ভরকেন্দ্র \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)

 

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

 

Other Topics