10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math HSC 1st Paper Chapter 03: সরলরেখা সরলরেখার সমীকরণ | Equation of Straight Line

সরলরেখার সমীকরণ | Equation of Straight Line

বিভিন্ন সরলরেখার সমীকরণ সুত্র সমূহ

সরলরেখার সমীকরণ হল একটি গাণিতিক সমীকরণ যা একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর x এবং y স্থানাঙ্কের মধ্যকার সম্পর্ককে প্রকাশ করে। এই সমীকরণটি সাধারণত x এবং y চলকের একটি একঘাত সমীকরণের আকারে থাকে। সবচেয়ে সাধারণ আকারের সরলরেখার সমীকরণ সূত্র হল:

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

(ক) x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা AB এর সকল বিন্দুর কোটি y = b

\therefore x অক্ষের সমন্তরল রেখার সমীকরণ y = b

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

যেখানে b হল x অক্ষ হতে AB সরলরেখার দূরত্ব। 

অনুসিদ্ধান্ত (১) 

x অক্ষরেখার সমীকরণ y = 0

অনুসিদ্ধান্ত (২)

x– অক্ষের সমান্তরল রেখাকে y– অক্ষের উপর লম্ব রেখাও বলা হয়। সুতরাং, y– 

অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ y = b. 

(খ) y অক্ষের সমান্তরাল রেখা A B– এর সকল বিন্দুর ভুজ x = a

\therefore y অক্ষরেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ x = a 

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

যেখানে a হলে y অক্ষ থেকে A B সরলরেখার দূরত্ব। 

অনুসিদ্ধান্ত (১)

y অক্ষরেখার সমীকরণ  x = 0 

অনুসিদ্ধান্ত (২)

y– অক্ষের সমান্তরাল রেখাকে x– অক্ষের উপর লম্ব রেখাও বলা হয় ।

অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ x = a.

(গ) মূল বিন্দুগামী সরলরেখা :

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, মূলবিন্দুগামী AB সরলরেখার উপরে P(x, y) যে কোন একটি বিন্দু। P হতে x অক্ষের উপরে PL লম্ব টানি।

ধরি, \angle P O L = \theta

\therefore \triangle POL হতে পাই, \tan \theta=\frac{P L}{O L}=\frac{y}{x} \Rightarrow(\tan \theta) x=m x=y

যেখানে \tan \theta=m কে A B সরলরেখার ঢাল বা ক্রমাবনতি বলা হয়। সুতরাং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y=m x 

(ক) y অক্ষ হতে c অংশ ছিন্নকারী এবং ধনাত্বক x অক্ষের সংগে \theta  কোনে আনত।

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

ধরি, সরলরেখার উপর P(x, y) যে কোন বিন্দু।  

x অক্ষরেখার উপরে P L লম্ব টানি এবং C হতে P L এর উপর C M লম্ব টানি।  

এখানে, O C=c, \angle A B O=\angle A B X=\theta

\therefore C M=O L=x, P M=P L-M L=P L-C O=y-c

এবং \angle P C M=\angle A B X=\theta 

\therefore \tan \theta=\frac{P M}{C M}=\frac{y-c}{x} \Rightarrow m=\frac{y-c}{x}[\therefore \tan \theta=m] \Rightarrow y-c=m x

\Rightarrow y=m x+c, ইহা A B সরলরেখার সমীকরণ।

অনুসিদ্ধান্ত (১)

a x+b y+c=0 রেখার ঢাল =\frac{-x \text { এর সহগ }}{y \text { এর সহগ }} অর্থাৎ, m=-\frac{a}{b} ।

কারণ b y=-c-a x \Rightarrow y=\frac{-a}{b} \times-\frac{c}{b}

(2) C বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(0, c)

(ঙ) (x, y) বিন্দুগামী এবং m ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, \mathrm{AB} সরলরেখাটি \mathrm{Q}\left(x_{1} y_{1}\right) বিন্দু দিয়ে যায় এবং রেখাটির ঢাল m. ধরি, AB রেখার উপর P(x, y) যেকোনো বিন্দু।

তাহলে, PQ এর ঢাল =\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}[: \mathrm{AB} = \mathrm{PQ} রেখার ঢাল]

\therefore y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)

 

(চ) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ: 

মনে করি, AB সরলরেখাটি Q\left(x_{1}, y_{1}\right) ও R\left(x_{2}, y_{2}\right) দুইটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখাটির উপর P(x, y) যে কোনো একটি বিন্দু 

P Q এর ঢাল =\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}

Q R এর ঢাল =\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}  

P . Q . R  বিন্দুক্রয় সমরেখ বলে,  

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

P Q এর ঢাল = Q R এর ঢাল   

\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}

বা, \frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}  

\therefore y-y_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\left(x-x_{1}\right)

উল্লেখ্য , এখানে \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=m= রেখাটির ঢাল

অনুসিদ্ধান্ত : (১)  

মূলবিন্দু (0,0) এবং \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, 

y=\frac{Y_{1}}{X_{1}} x

 

(ছ) ছেদক রেখার সমীকরণ   

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

ধরি, AB সরলরেখাটি x ও y অক্ষ হতে যথাক্রমে a ও b অংশ ছিন্ন করেছে এবং AB এর উপর  P(x, y) যে কোন একটি বিন্দু। x ও y অক্ষের উপরে যথাক্রমে PL ও PM লম্ব টানি এবং OP যুক্ত করি।

এখানে, O A=a, O B=b ; O L=P M=x, P L=y

\therefore \Delta O A B=\Delta O P A+\Delta O P B

\Rightarrow \frac{1}{2} O A \cdot O B=\frac{1}{2} O A \cdot P L+\frac{1}{2} O B \cdot P M 

\Rightarrow \frac{1}{2} a b=\frac{1}{2} a \cdot y+\frac{1}{2} b \cdot x 

\Rightarrow a b=a y+b x 

\Rightarrow 1=\frac{b x+a y}{a b} 

\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ইহা \mathrm{AB} রেখার সমীকরণ 

অনুসিদ্ধান্ত (১)

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(a, 0) এবং B(0, b) বিব্দুতে ছেদ করে।

 

(জ) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ের পদ্ধ্বতি : 

\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0-(i) \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0-(i i) \end{array}

(i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুনের সুত্র অনুসারে পাই,  

\begin{array}{l} \frac{x}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{y}{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \\ \Rightarrow x=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}, y=\frac{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \end{array}

যেমন, 3 x-4 y+6=0 ; 4 x+3 y-7=0  

রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক, \frac{x}{28-18}=\frac{y}{24+21}=\frac{1}{9+16}

\therefore x=\frac{10}{25}=\frac{2}{5} ; y=\frac{45}{25}=\frac{9}{5}

সুতরাংx=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} এবং y=\frac{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}

দিয়ে সরাসরি সরলরেখাদ্বেয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করা যায়। 

(ঝ) মূলবিন্দু থেকে কোন সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p এবং লম্বটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সংঙ্গে \alpha কোণ উৎপন্ন করলে, 

রেখার সমীকরণx \cos \alpha+y \sin \alpha=p  

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, মূলবিন্দু থেকে \mathrm{AB} সরলরেখার উপর লম্ব O Q এবং \angle Q O A=\alpha 

\Delta O A Q হতে পাই, \frac{O Q}{O A}=\cos \alpha 

বা, O A=\frac{O Q}{\cos \alpha}=\frac{p}{\cos \alpha}=p \sec \alpha 

\therefore O A=p \sec \alpha

\triangle O B Q হতে পাই, \angle B O Q=90^{\circ}-\alpha

\therefore \frac{O Q}{O B}=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha

বা, O B=\frac{O Q}{\sin \alpha}=\frac{p}{\sin \alpha}=p \operatorname{cosec} \alpha

সুতরাং AB সরলরেখার সমীকরণ, 

\frac{x}{p \sec \alpha}+\frac{y}{p \operatorname{cosec} \alpha}=1

বা, \frac{x \cos \alpha}{p}+\frac{y \sin \alpha}{p}=1

বা, x \cos \alpha+y \sin \alpha=p ইহাই AB সরলরেখার সমীকরণ।  

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics