রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক, সঞ্চারপথ

সঞ্চারপথ (Locus)

সঞ্চারপথ

কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চারণ করে তাকে প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ বলা হয়। মাধ্যমিক জ্যামিতি থেকে আমরা নিচের তিনটি সঞ্চারপথের সাথে পরিচিত।

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু C, D থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ CD রেখাংশের সমদ্বিখণ্ডক সরলরেখা। এখানে PC = PD শর্তাধীনে P বিন্দু চলমান, যেখানে PC ও PD যথাক্রমে P বিন্দু হতে C ও D বিন্দুর দূরত্ব বুঝায়।
একটি নির্দিষ্ট কোণ $\angle A B C$ এর বাহু দুইটি হতে যে চলমান বিন্দু P এর লম্ব দূরত্ব সমান, তার সঞ্চারপথ উক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা।

এখানে PM = PN শর্তাধীনে P বিন্দু চলমান যেখানে PN ও PM, P বিন্দু হতে BA ও BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য বুঝায়।

iii. একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র ঐ নির্দিষ্ট বিন্দু ও যার ব্যাসার্ধ ঐ নির্দিষ্ট দূরত্ব a. এখানে OP = a শর্তাধীনে P বিন্দু চলমান।

নোট (Note):

সেটের ভাষায় বলা যায়, সমতলের যে সব বিন্দু কোনো প্রদত্ত শর্ত বা শর্তাবলি পূরণ করে তাদের সেট একটি সঞ্চারপথ। সঞ্চারপথের প্রত্যেক বিন্দু প্রদত্ত ঐ শর্ত বা শর্তাবলি পূরণ করে এবং সঞ্চারপথের বহির্ভূত কোনো বিন্দু ঐ শর্ত বা শর্তাবলি পূরণ করে না।
প্রদত্ত শর্ত অথবা শর্তসমূহ থেকে সঞ্চারপথ নির্দেশক সেটের যে কোনো বিন্দুর (উপাদানের) x ও y স্থানাঙ্কের মধ্যে একটি বীজগণিতীয় সম্বন্ধ পাওয়া যায়। সেটের প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্কসমূহ এই বীজগণিতীয় সম্বন্ধটি মেনে চলে। এই বীজগণিতীয় সম্বন্ধটিই সঞ্চারপথের সমীকরণ। সুতরাং, সঞ্চারপথের যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা তার সমীকরণ সিদ্ধ হবে। বিপরীতক্রমে, কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা যদি কোনো সঞ্চারপথের সমীকরণ সিদ্ধ হয়, তাহলে উক্ত বিন্দু অবশ্যই সঞ্চারপথে থাকবে। প্রদত্ত শর্ত অথবা শর্তসমূহের তারতম্য অনুসারে সঞ্চারপথ সরলরেখা বা অন্য কোনো বক্র রেখা হতে পারে।

কাজের পদ্ধতি : সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় করতে হলে নিম্নলিখিত পদক্ষেপ গ্রহণ করতে হবে।

i. প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে চিত্র অঙ্কন করতে হবে।

ii. সেটভুক্ত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) ধরতে হবে।

iii. প্রদত্ত শর্ত মতে বিন্দুটির ভূজ x এবং কোটি y এর সম্পর্কযুক্ত বীজগণিতীয় সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে।

iv. (iii) নং হতে প্রাপ্ত বীজগণিতীয় সমীকরণটিকে সরল করে নির্ণেয় সমীকরণটি পাওয়া যাবে ।

রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Coordinates of a line divisor point)

অন্তর্বিভাগের ক্ষেত্রে

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ এবং $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশ $\mathrm{R}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ বিন্দুতে $\mathrm{m}_{1}: \mathrm{m}_{2}$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়েছে। R বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। এখানে $PR : RQ = m_{1} : m_{2}$

$P, Q, R$ বিন্দু থেকে $O X$ এর উপর যথাক্রমে $P A, Q B, R C$ লম্ব আঁকি।

আবার $PS \perp RC$ এবং $RT \perp QB$ অঙ্কন করি।

এখন $\triangle \mathrm{PRS}$ ও $\triangle \mathrm{ORT}$ সদৃশ বলে

\frac{P S}{R T}=\frac{R S}{Q T}=\frac{P R}{R Q}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \ldots \ldots . . .(1)

আবার, $P S=A C=O C-O A=x-x_{1}$

এবং, $R T=C B=O B-O C=x_{2}-x$

$\therefore$ (1) থেকে $\frac{P S}{R T}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$

বা, $m_{2} x-m_{2} x_{1}=m_{1} x_{2}-m_{1} x$

বা, $\left(m_{1}+m_{2}\right) x=m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}$

$\therefore x=\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}$

$R S=R C-C S=y-y_{1}$ এবং $Q T=B Q-B T=y_{2}-y$

তদ্রুপ, (1) থেকে $\frac{R S}{Q T}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{y}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$

বা, $m_{2} y-m_{2} y_{1}=m_{1} y_{2}-m_{1} y$

বা, $\left(m_{1}+m_{2}\right) y=m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}$

\therefore x=\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}

$\therefore$ অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$

অনুসিদ্ধান্ত 1: যদি $\mathrm{R}, \mathrm{PQ}$ এর মধ্যবিন্দু হয়, তবে $m_{1}=m_{2}$

$\therefore \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ এবং $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক,

\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)

অনুসিদ্ধান্ত 2 : যদি R বিন্দুটি PQ কে $\mathrm{k}: 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে অর্থাৎ PR: RQ = $k: 1$ হয় তাহলে,

$x=\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}$ এবং, $\mathrm{y}=\frac{k y_{2}+y_{1}}{k+1}$ , এক্ষেত্রে শুধু $\mathrm{k}$ এর মান জানলে অনুপাত জানা যায়।

(b) বহির্বিভক্তির ক্ষেত্রে

মনে করি , $\mathrm{R}$ বিন্দুটি $\mathrm{PQ}$ কে $mathrm{m}_{1}: \mathrm{m}_{2}$ এ বহির্বিভক্ত করেছে।

অর্থাৎ, $\mathrm{PR}: \mathrm{RQ}=\mathrm{m}_{1}: \mathrm{m}_{2}$ বা, $\frac{P R}{Q R}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$

এখানে $\triangle$ PRS এবং $\triangle$ QRT সদৃশ।

\frac{P S}{Q T}=\frac{R S}{R T}=\frac{P R}{Q R}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \ldots \ldots . . .(1)

$\therefore$ (1) থেকে $\frac{P S}{Q T}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$

বা, $m_{1} x-m_{1} x_{2}=m_{2} x-m_{2} x_{1}$

বা, $\left(m_{1}-m_{2}\right) x=m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}$

\therefore x=\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}-\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}-\mathrm{m}_{2}}

তদ্রুপ, (1) থেকে $\frac{R S}{R T}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{y}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{y}-\mathrm{y}_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$

বা, $m_{1} y-m_{1} y_{2}=m_{2} y-m_{2} y_{1}$

বা, $\left(m_{1}-m_{2}\right) y=m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}$

\therefore y=\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}-\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}-\mathrm{m}_{2}}

\therefore \text { বহিবিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক }\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics