অসীম পর্যন্ত চলতে থাকা ফাংশনের অন্তরীকরণ (Differentiation of a function that lasts indefinitely)

অন্তরীকরণ: পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ

	Y	f(x)
$\frac{d y}{d x}$	$y_{1}$	$\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})$	$\frac{d y}{d x}$
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$	$y_{2}$	$\boldsymbol{f}^{\prime \prime}(\boldsymbol{x})$	$\frac{d}{d x}$ ( $\frac{d y}{d x}$ )
$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$	$y_{3}$	$\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime}(\boldsymbol{x})$	$\frac{d}{d x}$ ( $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ )
$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$	$y_{4}$	$\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime \prime}(\boldsymbol{x})$	$\frac{d}{d x}$ ( $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ )
* *	* *	* *	* *
* *	* *	* *	* *

এভাবে কোনো ফাংশনের ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করলে প্রক্রিয়কে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলে।

Type-23:

Concept: (i) power আকারে থাকলে এখানে $\ln$ নিতে হবে। (ii) Root থাকলে বর্গ করে আগাতে হবে।

Example-76. $y$ = $x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}}$

$\mathrm{Sol}^{n}$ : $y$ = $x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}}$ ⟹ $ln y$ = $ln$ $x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}}$ $ln x$ ⟹ $ln y$ = $yln x$

Differentiate করে পাই $\frac{1}{y}$ \frac{d y}{d x}= $y$ . $\frac{1}{x}$ + $ln x$ $\frac{d y}{d x}$ ; $\frac{d y}{d x}$ ( $\frac{1}{y}$ – $\ln x$ ) = $\frac{y}{x}$ ⟹ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{y^{2}}{x(1-y \ln x)}$

Example-77. $y$ = $\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}$

$\mathrm{Sol}^{n}$ :y= $\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}$

⟹ $y$ = $sin x$ + $\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}$ ⟹ $y^{2}$ = $sin x$ + $y$

∴ Differentiate করে পাই,

2 $y$ $\frac{d y}{d x}$ = $cos x$ + $\frac{d y}{d x}$ ⟹ $\frac{d y}{d x}$ $(2y-1)$ = $cos x$ ⟹ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{\cos x}{2 y-1}$

পর্যায়ক্রমিক অন্তরজে n তম অন্তরজ নির্ণয়ঃ

$\rightarrow$ n তম অন্তরক মানে common pattern বের করা।

$\rightarrow$ ৩-৪ বার করার পর common pattern আসে।

(1). $y$ = $x^{n}$

⟹ $y_{1}$ = $n$ $x^{n-1}$

⟹ $y_{2}$ = $n$ $(n-1)$ $x^{n-2}$

⟹ $y_{3}$ = $n$ $(n-1)$ $(n-2)$ $x^{n-3}$

⟹ $y_{4}$ = $n$ $(n-1)$ $(n-2)$ $(n-3)$ $x^{n-4}$

⟹ $y_{m}$ = $n_{p_{m}}$ $x^{n-m}$

$n\geqm$

Q. y $y$ = $x^{5}$

⟹ $y_{1}$ =5 $x^{4}$

⟹ $y_{2}$ =20 $x^{3}$

⟹ $y_{3}$ =60 $x^{2}$

⟹ $y_{4}$ =5 $p_{5}$ $x^{5-4}$ =120 $x$

⟹ $y_{5}$ =5 $p_{5}$ $x^{5-5}$ =120. $x^{0}$ [ যখন $n=m$ ]

⟹ $y_{6}$ = $\frac{d^{45}}{d x}$ = $\frac{d^{120}}{d x}$ =0

∴ $m>n$ হলে পরবর্তী $y=0$

(2). $y$ = $sin x$

⟹ $y_{1}$ = $cos x$ = $\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)$

⟹ $y_{2}$ = $-sin x$ = $\sin \left(\frac{2\pi}{2}+x\right)$

⟹ $y_{3}$ = $cos x$ = $\sin \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$

⟹ $y_{4}$ = $sin x$ =[ $\sin \left(\frac{4\pi}{2}+x\right)$

∴ $y_{n}$ = $\sin \left(\frac{n\pi}{2}+x\right)$

Q. $y_{1000}$ = ?

⟹ $y_{1000}$ =[ $\sin \left(\frac{1000\pi}{2}+x\right)$ = $\sin (500 \pi+x)$ = $sin x$

(Ans)

(3). $y$ = $e^{m x}$

⟹ $y_{1}$ = $e^{m x}$

⟹ $y_{2}$ = $m^{2}$ $e^{m x}$

⟹ $y_{3}$ = $m^{3}$ $e^{m x}$

∴ $y_{n}$ = $m^{n}$ $e^{m x}$

(Ans)

ঊদাহরণ-2: $y$ = $\left(\cos ^{-1} x\right)^{2}$ হলে, দেখাও যে, $\left(1-x^{2}\right)$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ – $x$ $\frac{d y}{d x}$ =2

প্রমানঃ এখানে, $y$ = $\left(\cos ^{-1} x\right)^{2}$

$X$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $\frac{d y}{d x}$ =2 $x$ $\cos ^{-1} x$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

⟹ $\sqrt{1-x^{2}}$ $\frac{d y}{d x}$ =2 $\cos ^{-1} x$ ⟹ $(1-x^{2})$ $(\frac{d y}{d x})^2$ =4 $(\cos ^{-1} x)^{2}$ ⟹ $(1-x^{2})$ $(\frac{d y}{d x})^2$

= $4y$

$X$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $(1-x^{2})$ .2 $\frac{d y}{d x}$ . $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ + $(\frac{d y}{d x})^2$ $(-2x)$ =4 $\frac{d y}{d x}$

উভয় পক্ষকে 2 $\frac{d y}{d x}$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $(1-x^{2})$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ – $x$ $\frac{d y}{d x}$ =2

ঊদাহরণ-3: $x$ এর সাপেক্ষে $cos 3x$ এর $n$ তম অন্তরজ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ মনে করি, $y$ = $cos 3x$ $\therefore y_{1}$ =-3 $sin 3x$ =3 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+3 x\right)$

$y_{2}$ = – $3^{2}$ $\sin \left(\frac{\pi}{2}+3 x\right)$ = $3^{2}$ $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+3 x\right)$ = $3^{2}$ $\cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)$

$y_{3}$ = – $3^{3}$ $\sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)$ = $3^{3}$ $\cos \left(\frac{\pi}{2}+2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)$ = $3^{2}$ $\cos \left(3 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)$

অনুরুপভাবে, $y_{n}$ = – $3^{n}$ $\therefore D^{n}$ $(cos 3x)$ = $3^{n}$ $\cos \left(n \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)$

(Ans)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics