অসীম পর্যন্ত চলতে থাকা ফাংশনের অন্তরীকরণ (Differentiation of a function that lasts indefinitely)

Type-23: 

Concept: (i) power আকারে থাকলে এখানে \ln নিতে হবে। (ii) Root থাকলে বর্গ করে আগাতে হবে।

Example-76. y =x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}} 

\mathrm{Sol}^{n} :  y = x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}} ⟹ln y = ln x^{x^{x^{-^{-^{-^{\infty}}}}}} ln x  ⟹ ln y = yln x

Differentiate করে পাই \frac{1}{y}\frac{d y}{d x} =y .\frac{1}{x} + ln x \frac{d y}{d x} ; \frac{d y}{d x} (\frac{1}{y} –\ln x ) =\frac{y}{x}  ⟹ \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(1-y \ln x)}

Example-77.y = \sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}

\mathrm{Sol}^{n} :y= \sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}   

⟹ y= sin x+ \sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\sqrt{\sin x+\ldots \ldots \ldots \infty}}}   ⟹y^{2} = sin x+y

∴ Differentiate করে পাই,

2y \frac{d y}{d x} = cos x+\frac{d y}{d x} ⟹ \frac{d y}{d x} (2y-1) = cos x⟹\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{2 y-1}  

পর্যায়ক্রমিক অন্তরজঃ

	Y	f(x)
\frac{d y}{d x}	y_{1}	\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})	\frac{d y}{d x}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}	y_{2}	\boldsymbol{f}^{\prime \prime}(\boldsymbol{x})	\frac{d}{d x} ( \frac{d y}{d x} )
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}	y_{3}	\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime}(\boldsymbol{x})	\frac{d}{d x} ( \frac{d^{3} y}{d x^{3}} )
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}	y_{4}	\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime \prime}(\boldsymbol{x})	\frac{d}{d x} ( \frac{d^{4} y}{d x^{4}} )
*   *	*   *	*   *	*   *
*   *	*   *	*   *	*   *

এভাবে কোনো ফাংশনের ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করলে প্রক্রিয়কে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলে।

পর্যায়ক্রমিক অন্তরজে n তম অন্তরজ নির্ণয়ঃ 

\rightarrow n তম অন্তরক মানে  common pattern বের করা।

\rightarrow ৩-৪ বার করার পর common pattern আসে।

(1). y =x^{n}

⟹y_{1} =n x^{n-1}  

⟹y_{2} = n (n-1) x^{n-2}   

⟹y_{3} =n (n-1) (n-2) x^{n-3}

⟹y_{4} =n (n-1) (n-2) (n-3) x^{n-4}

⟹y_{m} = n_{p_{m}} x^{n-m}   

 

  n≥m

 

Q. y y = x^{5}  

⟹y_{1} =5 x^{4}   

⟹y_{2} =20 x^{3} 

⟹y_{3} =60 x^{2} 

⟹y_{4} =5p_{5}   x^{5-4}=120 x  

⟹y_{5} =5p_{5}   x^{5-5}=120. x^{0} [ যখন n=m ]

⟹y_{6} = \frac{d^{45}}{d x}= \frac{d^{120}}{d x}=0 

∴ m>n  হলে পরবর্তী y=0

(2). y = sin x

⟹y_{1} =cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)

⟹y_{2} = -sin x= \sin \left(\frac{2\pi}{2}+x\right)

⟹y_{3} =cos x = \sin \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)

⟹y_{4} = sin x =[ \sin \left(\frac{4\pi}{2}+x\right)  

∴y_{n} = \sin \left(\frac{n\pi}{2}+x\right) 

Q. y_{1000} = ?

⟹ y_{1000} =[ \sin \left(\frac{1000\pi}{2}+x\right) = \sin (500 \pi+x) = sin x   

(Ans)

(3). y =e^{m x}

⟹y_{1} =e^{m x}  

⟹y_{2} =m^{2} e^{m x}

⟹y_{3} =m^{3} e^{m x}  

∴y_{n} =m^{n} e^{m x}   

(Ans)

ঊদাহরণ-2: y =\left(\cos ^{-1} x\right)^{2}   হলে, দেখাও যে, \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} – x\frac{d y}{d x} =2 

প্রমানঃ এখানে, y=\left(\cos ^{-1} x\right)^{2}   

 X এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, \frac{d y}{d x} =2x \cos ^{-1} x \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}

⟹ \sqrt{1-x^{2}}\frac{d y}{d x} =2 \cos ^{-1} x⟹(1-x^{2}) (\frac{d y}{d x})^2 =4 (\cos ^{-1} x)^{2} ⟹(1-x^{2}) (\frac{d y}{d x})^2

= 4y  

 X এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, (1-x^{2}) .2\frac{d y}{d x} . \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^2 (-2x) =4\frac{d y}{d x}

উভয় পক্ষকে 2\frac{d y}{d x}   দ্বারা ভাগ করে পাই, (1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}– x \frac{d y}{d x} =2 

ঊদাহরণ-3: x এর সাপেক্ষে cos 3x  এর n তম অন্তরজ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ মনে করি, y = cos 3x  \therefore y_{1} =-3 sin 3x=3 \cos \left(\frac{\pi}{2}+3 x\right)   

y_{2} = – 3^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}+3 x\right) =3^{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+3 x\right) =3^{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)   

y_{3} = – 3^{3} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right) =3^{3} \cos \left(\frac{\pi}{2}+2 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right) =3^{2} \cos \left(3 \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)

অনুরুপভাবে, y_{n} = – 3^{n}   \therefore D^{n}   (cos 3x) =3^{n}   \cos \left(n \cdot \frac{\pi}{2}+3 x\right)    

(Ans)