ভিন্ন ভিন্ন ফাংশনের অন্তরজ (Determining the Derivative of different functions)

ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় (Determining the Derivative of Functions)

Type-18: একাদিক ফাংশনের সমন্বয় সমাধানে লগারিদম (Logarithm to solve the combination of one function)

Concept: অনেকগুলি ফাংশনের গুণ বা ভাগ আকারে ফাংশানের অন্তরক সহগ নির্ণয়ের জন্য উভয় পক্ষে ln নিতে হবে।

Example-60: (\sin x),(\ln x) \cdot(\tan x)\left(e^{x}\right) এর অন্তরক সহগ বের করতে হবে।

\mathrm{Sol}^{n} : ধরি, y=(\sin x)(\ln x)(\tan x)\left(e^{x}\right)   

\begin{array}{l} \Rightarrow \ln y=\ln (\sin x)+\ln (\ln x)+\ln (\tan x)+\ln \left(e^{x}\right) \\ \therefore \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x+\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{\tan x} \cdot \sec ^{2} x+1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left[\cot x+\frac{1}{x \ln x}+\frac{\sec x}{\sin x}+1\right] \\ \therefore \frac{d y}{d x}=(\sin x)(\ln x)(\tan x)\left(e^{x}\right)\left[\cot x+\frac{1}{x \ln x}+\frac{\sec x}{\sin x}+1\right] \\ \end{array}

 

ব্যক্ত ফাংশনঃ

যেকোনো ফাংশান যাকে   y = f(x) বা y কে  x এর মাধ্যমে বা x কে y এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তা ব্যক্ত ফাংশন।

যেমন:  y = 3 x^{2} + 2x + 1 

অব্যক্ত ফাংশনঃ

যে ফাংশন এ y কে  x এর মাধ্যমে বা x কে y এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অব্যক্ত ফাংশন বলে।

যেমন:  x^{2}– 3 x y+ 7 y^{2} + 3 অব্যক্ত

• অব্যক্ত ফাংশনকে f(x,y) =0 আকারে প্রকাশ করতে হয়।

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ঃ

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে  x কে পরিবর্তনশীল এবং y কে x এর ফাংশন বিবেচনা করে প্রত্যেক পদকে পৃথক পৃথকভাবে অন্তরীকরণ করে \frac{d y}{d x}  নির্ণয় করতে হয়।

Q. x^{3}– 3 x^{2} y+ y^{3} =5

⇒ x^{3}– 3 x^{2} y+ y^{3} -5=0

⇒3 x^{2}-3(y . 2x + x^{2}.\frac{d y}{d x} )+3 y^{2}.\frac{d y}{d x} =0

⇒ x^{3}– 6cy -3 x^{2}.\frac{d y}{d x} +3 y^{2}.\frac{d y}{d x} =0

⇒\frac{\left(3 x^{2}-3 y^{2}\right) d y}{d x} =3 x^{2} – 6 x y

⇒ \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3}-6 x y}{3 x^{2}-3 y^{2}}

(Ans)

Shortcut:

\begin{array}{l} \text { Q. } \boldsymbol{x}^{3}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}^{3}-\mathbf{5}=\mathbf{0} \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{d}{d x}^{\left(x^{3}-3 x^{2} y+y^{3}-5\right)}}{\frac{d}{d y}^{\left(x^{3}-3 x^{2} y+y^{3}-5\right)}} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y+0-0}{0-3 x^{2}+3 y^{2}-0} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y}{3 y^{2}+3 y^{2}} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y}{3 x^{2}+3 y^{2}} \\ \text { (Ans) } \end{array}

উদাহরন-8: xএর সাপেক্ষে x^{y}=y^{x}  এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ (a) দেওয়া আছে, x^{y}=y^{x} 

  X এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষে অন্তরীকরন করে পাই,

 

\begin{array}{l} \left.x^{y}\left[y \frac{d y}{d x}(\ln y)+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\right)\right]=\mathrm{y}^{\mathrm{x}}\left[\mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln y)+\ln y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{x})\right] \\ \Rightarrow y \frac{1}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}=x \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}+\ln y\left[\therefore x^{y}=y^{x}\right] \\ \Rightarrow\left(\ln x-\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{d y}{d x}=\ln y-\frac{y}{x} \Rightarrow\left(\frac{y \ln x-x}{y}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{x \ln y-y}{x} \end{array}

 

\begin{array}{l} \therefore \frac{d y}{d x}=\frac{y(x \ln y-y)}{x(y \ln x-x)} \\ \text { (Ans) } \end{array}

 

পরামিতিক ফাংশনের অন্তরজ (The essence of parametric functions) :

কখন কখন সুবিধার জন্য সঞ্চারপথের সমীকরনে x ও  y চলক রাশিকে তৃতীয় আরেকটি চলরাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। ঐ তৃতীয় চলরাশি হলো পরিমিতি। আর সীমকরণটি পরামিতিক সমীকরণ।

y = g(t) এবং x=f(t) হলে – 

\frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d t} .\frac{d t}{d x}  

=\frac{d y}{d t} x \frac{\frac{1}{d x}}{d t}

=\frac{d y}{d t} /\frac{d x}{d t}

Q. y\left.\frac{y=\cos \theta}{x=a \sin \theta}\right\} \frac{d y}{d x} =?

পদ্ধতি-১:

\frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d \theta} / \frac{d x}{d \theta} 

=\frac{d^{\operatorname{acos} \theta}}{d \theta} /\frac{d^{\operatorname{asin} \theta}}{d \theta}

=-\operatorname{asin} \theta /a \cos \theta   

=- \tan \theta  

(Ans)

পদ্ধতি-2:

y=\operatorname{acos} \theta ;∴\cos \theta =ya \frac{y}{a}  

x =\operatorname{asin} \theta ;∴ \sin \theta =  \frac{x}{a}

∴\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta=1   

⟹\frac{y^{2}}{a^{2}} +\frac{x^{2}}{a^{2}} =1 

⟹ x^2+ y^{2}=a^{2}  

⟹ x^2+ y^{2}–a^{2}  =0 

⟹ \frac{d^{x^{2}}}{d x}+\frac{d^{y^{2}}}{d x} –\frac{d^{a^{2}}}{d x} =0 

⟹2x + 2 y. \frac{d^{y}}{d x}=0 

⟹\frac{d}{d x}^{y} =-\frac{2 x}{2 y}

=- \frac{\operatorname{asin} \theta}{\operatorname{acos} \theta}=- \tan \theta   

(Ans)

Q. \left.\frac{x=a t^{2}}{y=2 a t}\right\} \frac{d y}{d x}=?

পদ্ধতি-১:

\frac{d}{d x}^{y}=\frac{d}{d t}^{y} /\frac{d}{d t}^{x}

= \frac{d^{2 a t}}{d t}/ \frac{d^{a t^{2}}}{d t}

=2a /2at =\frac{1}{t} 

(Ans)

পদ্ধতি-2:

y =  2at

⟹t =\frac{y}{2 a}  

∴x =a \left(\frac{y}{2 a}\right)^{2}

⟹ x–\frac{y^{2}}{4 a} =0  

⟹- \frac{2 y}{4 a}.\frac{d y}{d x} =0 

⟹\frac{y}{2 a} .\frac{d y}{d x} =0 

⟹\frac{y}{2 a} \frac{d y}{d x}=0

⟹\frac{d y}{d x} =\frac{2 a}{y}  

=\frac{2 a}{2 a t} =\frac{1}{t}  

(Ans)