লিমিটের মান নির্ণয় ও ফাংশনের অবিচ্ছিন্নতা (Determining the value of the limit and Continuity of function)

লিমিটের মান নির্ণয় (Determining the value of the limit)

Type-01 : লিমিটের অস্তিতশীলতা কেন্দ্রিক 

⟹Concept : কোন বিন্দুতে লিমিট অস্তিত্তশীল হবে যদি ঐ বিন্দুতে Left Hand Limit (LHL) = Right Hand Limit (RHL) হয়। অর্থাৎ \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x) =\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)

Example-01: \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}= ?

\operatorname{Sol}^{n}:

 

Right hand limit =\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{h}{\sqrt{2} \sin \frac{h}{2}}[ Let, \mathrm{x}=0=\mathrm{h}]=\sqrt{2}

 

Left hand limit =\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{0-h}{\sqrt{1-\cosh }}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{-h}{\sqrt{2} \sin \frac{h}{2}}=-\sqrt{2}

 

\because \mathrm{RHL} \neq \mathrm{LHL}

 

\therefore লিমিটের মান অস্তিত্তশীল  নয়।

 

Example-02: =\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{|x|}-1}{x} ?

 

\operatorname{Sol}^{n}:

L. H. L. \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{|x|}-1}{x}=-1 ;

R.H.L. \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{|x|}-1}{x}=1

\because \mathrm{LHL} \neq \mathrm{RHL}

\therefore limit অস্তিত্তশীল নয়।    (Ans)

Type-02 : হরে বর্গমূল সংবলিত পদটি অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করে লিমিট নির্ণয় 

⟹ Concept: (i) \frac{0}{0} \text { form } (ii) বীজগাণিতিক function (iii) লব বা হর উভয়টিতে   \text { S } \quad \text { rt }(\sqrt{ })

থাকবে ।

নিয়মঃ অনুবন্ধীকরন করে এমন বানাতে হবে যেন limit বসানো যায়।

 

Example-08:সীমাস্থ মান নির্ণয় কর  : \frac{L t}{x \rightarrow 0} \frac{2\left(b-\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.}{x^{2}}

 

\operatorname{Sol}^n :

\frac{L t}{x \rightarrow 0} \frac{2\left(b-\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.}{x^{2}} = =\frac{L t}{x \rightarrow 0} \frac{2\left(b^{2}-b^{2}-x^{2}\right)}{x^{2}\left(b+\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.} =\frac{-2}{\left(b+\sqrt{\left.b^{2}+0\right)}\right.} =-\frac{1}{b}

 

Example-09: \frac{L t}{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-4 x}-\sqrt{1-5 x}}{x} =\frac{L t}{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{1-4 x}+(\sqrt{1-5 x}))}=\frac{1}{2}

(Ans.)

[ হর ও লবকে (\sqrt{1-4 x} +(\sqrt{1-5 x}) )দ্বারা গুণ করে ]

⟹ Limit Transfer :

Q. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos x}

ধরি, x=\frac{\pi}{2}+R ; x \rightarrow \frac{\pi}{2} হলে h \rightarrow 0  হবে।

এখন,

\frac{\lim }{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos x} =\frac{1-\sin x}{h \rightarrow 0} \frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}+h\right)}

 

=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos h}{-\sin h}

 

=\frac{-\lim }{h \rightarrow 0}  \frac{2 \sin ^{2} \frac{h}{2}}{\sin h}

 

=\frac{-\lim }{h \rightarrow 0} \left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^{2} x\frac{h^{2}}{4} x\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{h}{\sin h} x\frac{2}{h}

=1-x \frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{4} \times \frac{2}{h}=0

 

\frac{\lim }{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}  \frac{1-\sin x}{\cos x}

 

(Ans)

 

Q. \frac{\lim }{x \rightarrow \infty} 2^{x} \sin \frac{b}{2^{x}} 

 

⟹ ধরি, \frac{b}{2^{x}}=\theta

 

\Rightarrow \frac{b}{\theta}=2^{x}

 

এখন,

x \rightarrow \alpha হলে 2^{x} \rightarrow \alpha \therefore \frac{b}{2^{x}} \rightarrow 0

\begin{array}{l} \therefore \theta \rightarrow 0 \\ \therefore \frac{\lim }{x \rightarrow \infty} 2^{x} \sin \frac{b}{2^{x}}=\frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \frac{b}{\theta} \cdot \sin \theta \\ =\frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \theta \times \mathrm{b} / \theta=6 \\ \text { (Ans) } \end{array}

ফাংশনের অবিচ্ছিন্নতা (Continuity of function)

⟹ কোনো ফাংশনের লেখচিত্রে কথাও ছেদ ক বিচ্ছিন্নতা না থাকলে ফাংশনটিকে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন বলা হয়। অর্থাৎ x=a বিন্ধুতে f(x) ফাংশ্নকে অবিচ্ছিন্ন বলা হয়  যদি \frac{\lim }{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে এবং তা সসীম ও f(a) এর মান হয়।

∴ ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হবে যখন \frac{\lim }{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow a^{-}} f(x)

 

Q. f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x+3 ;-\frac{3}{2} \leq x<0 \\ -2 x+3 ; 0 \leq x<\frac{3}{2} \\ -2 x-3 ; x \geq \frac{3}{2} \end{array}\right.

x বিন্দুতে f(x)   এর অবিচ্ছিন্নতা যাচাই কর।

⟹ x=0 বিন্দুতে –

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}}-2 x+3=3

 

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} 2 x+3=3

 

∴ \therefore \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)

 

x=0 বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ।

(Ans) 

Example-04: f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x+3 ;-\frac{3}{2} \leq x<0 \\ -2 x+3 ; 0 \leq x<\frac{3}{2} \\ -2 x-3 ; x \geq \frac{3}{2} \end{array}\right. বিন্দুতে ফাংশানটির বিচ্ছিন্নতা, অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর।

\operatorname{Sol}^n :

x=0 বিন্দুতে –

 

f(0)=0

 

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(0-h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(0-h)=0

 

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(0+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(0+h)=0

 

যেহেতু f(0)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \mathrm{f}(\mathrm{x})  

সুতরাং, x=0 বিন্দুতে ফাংশানটি অবিচ্ছিন্ন।

x=1 বিন্দুতে –

f(0)=1

\frac{\lim }{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(1-h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(1-h)=1

\frac{\lim }{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(1+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}\{2-(1+h)\}=1

∵ f(0)=1 =L.H.L=R.H.L

∴ ফাংশানটি x=1   বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

x=2 বিন্দুতে –

f(2)=2-2=0

\frac{\lim }{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(2+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}[2-(2-h)]=0 \frac{\lim }{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(2+h)=2

\because f(2)=\frac{\lim }{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \neq \frac{\lim }{x \rightarrow 2^{+}} f(x)

∴ x=2 বিন্দুতে ফাংশানটি অবিচ্ছিন্ন।

∗ গ্রাফ আঁকতে পারলে আরও সহজে বুঝা যায় উপরিউক্ত ফাংশনের গ্রাফঃ

∗ স্ট্যান্ডউইচ/স্কুইজ/পিনচিং উপপাদ্য (Sandwich / Squeeze / Pinching Theorem) :

জামাল কামাল অপেক্ষায় বেশি খায়, এবং দামাল অপেক্ষায় কিম খায়। কোনো একদিন কামাল =2kg এবং দামাল =2kg খায়। তবে কামাল কতটুকু খায়?

⟹ কামাল {K(x)}   <জামাল {J(x)}  < দামাল {D(x)}

⟹ K(x)<J(x)<D(x)

⟹ 2<J(x)<2

∴ J(x)=2

যেমন-

1<\frac{\lim _{x \rightarrow 0}}{x} \frac{\sin x}{x}<1

∴ \frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1  

 

\text { Q. } \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}=? 

 

⟹ আমরা জানি,

 

⟹ -1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1  

 

⟹ -x^{2} \leq x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq x^{2}  

 

⟹ \frac{\lim }{x \rightarrow 0}-x^{2} \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2}

 

0 \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq 0

 

\therefore \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x}=0

(Ans)