ভিন্ন ভিন্ন ফাংশনের অন্তরজ (Determining the Derivative of different functions)

ফাংশন কাকে বলে?

ফাংশন হল একটি নির্দিষ্ট সেটের প্রতিটি উপাদানকে অন্য একটি সেটের একক উপাদানের সাথে সম্পর্কিত করে এমন একটি নিয়ম। সহজ কথায়, ফাংশন হল এক ধরনের যন্ত্র যা একটি নির্দিষ্ট ইনপুট দিলে একটি নির্দিষ্ট আউটপুট দেয়।

ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় (Determining the Derivative of Functions)

Type-18: একাদিক ফাংশনের সমন্বয় সমাধানে লগারিদম (Logarithm to solve the combination of one function)

Concept: অনেকগুলি ফাংশনের গুণ বা ভাগ আকারে ফাংশানের অন্তরক সহগ নির্ণয়ের জন্য উভয় পক্ষে $ln$ নিতে হবে।

Example-60: $(\sin x),(\ln x) \cdot(\tan x)\left(e^{x}\right)$ এর অন্তরক সহগ বের করতে হবে।

$\mathrm{Sol}^{n}$ : ধরি, $y=(\sin x)(\ln x)(\tan x)\left(e^{x}\right)$

\begin{array}{l} \Rightarrow \ln y=\ln (\sin x)+\ln (\ln x)+\ln (\tan x)+\ln \left(e^{x}\right) \\ \therefore \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x+\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{\tan x} \cdot \sec ^{2} x+1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left[\cot x+\frac{1}{x \ln x}+\frac{\sec x}{\sin x}+1\right] \\ \therefore \frac{d y}{d x}=(\sin x)(\ln x)(\tan x)\left(e^{x}\right)\left[\cot x+\frac{1}{x \ln x}+\frac{\sec x}{\sin x}+1\right] \\ \end{array}

ব্যক্ত ফাংশনঃ

যেকোনো ফাংশান যাকে $y$ = $f(x)$ বা $y$ কে $x$ এর মাধ্যমে বা $x$ কে $y$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তা ব্যক্ত ফাংশন।

যেমন: $y$ = $3 x^{2}$ + $2x$ + 1

অব্যক্ত ফাংশনঃ

যে ফাংশন এ $y$ কে $x$ এর মাধ্যমে বা $x$ কে $y$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অব্যক্ত ফাংশন বলে।

যেমন: $x^{2}$ – $3 x y$ + $7 y^{2} + 3$ অব্যক্ত

অব্যক্ত ফাংশনকে $f(x,y)$ =0 আকারে প্রকাশ করতে হয়।

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ঃ

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে $x$ কে পরিবর্তনশীল এবং $y$ কে $x$ এর ফাংশন বিবেচনা করে প্রত্যেক পদকে পৃথক পৃথকভাবে অন্তরীকরণ করে $\frac{d y}{d x}$ নির্ণয় করতে হয়।

Q. $x^{3}$ – $3 x^{2} y$ + $y^{3}$ =5

⇒ $x^{3}$ – $3 x^{2} y$ + $y^{3}$ -5=0

⇒3 $x^{2}$ -3(y . $2x$ + $x^{2}$ . $\frac{d y}{d x}$ )+3 $y^{2}$ . $\frac{d y}{d x}$ =0

⇒ $x^{3}$ – $6cy$ -3 $x^{2}$ . $\frac{d y}{d x}$ +3 $y^{2}$ . $\frac{d y}{d x}$ =0

⇒ $\frac{\left(3 x^{2}-3 y^{2}\right) d y}{d x}$ = $3 x^{2}$ – $6 x y$

⇒ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{3 x^{3}-6 x y}{3 x^{2}-3 y^{2}}$

(Ans)

Shortcut:

ফাংশন কাকে বলে

\begin{array}{l} \text { Q. } \boldsymbol{x}^{3}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}^{3}-\mathbf{5}=\mathbf{0} \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{d}{d x}^{\left(x^{3}-3 x^{2} y+y^{3}-5\right)}}{\frac{d}{d y}^{\left(x^{3}-3 x^{2} y+y^{3}-5\right)}} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y+0-0}{0-3 x^{2}+3 y^{2}-0} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y}{3 y^{2}+3 y^{2}} \\ =\frac{3 x^{2}-6 x y}{3 x^{2}+3 y^{2}} \\ \text { (Ans) } \end{array}

উদাহরন-8: $x$ এর সাপেক্ষে $x^{y}$ = $y^{x}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ (a) দেওয়া আছে, $x^{y}=y^{x}$

$X$ এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষে অন্তরীকরন করে পাই,

\begin{array}{l} \left.x^{y}\left[y \frac{d y}{d x}(\ln y)+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\right)\right]=\mathrm{y}^{\mathrm{x}}\left[\mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln y)+\ln y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{x})\right] \\ \Rightarrow y \frac{1}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}=x \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}+\ln y\left[\therefore x^{y}=y^{x}\right] \\ \Rightarrow\left(\ln x-\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{d y}{d x}=\ln y-\frac{y}{x} \Rightarrow\left(\frac{y \ln x-x}{y}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{x \ln y-y}{x} \end{array}

\begin{array}{l} \therefore \frac{d y}{d x}=\frac{y(x \ln y-y)}{x(y \ln x-x)} \\ \text { (Ans) } \end{array}

পরামিতিক ফাংশনের অন্তরজ (The essence of parametric functions) :

কখন কখন সুবিধার জন্য সঞ্চারপথের সমীকরনে $x$ ও $y$ চলক রাশিকে তৃতীয় আরেকটি চলরাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। ঐ তৃতীয় চলরাশি হলো পরিমিতি। আর সীমকরণটি পরামিতিক সমীকরণ।

$y$ = $g(t)$ এবং $x$ = $f(t)$ হলে –

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{d y}{d t}$ . $\frac{d t}{d x}$

= $\frac{d y}{d t}$ x $\frac{\frac{1}{d x}}{d t}$

= $\frac{d y}{d t}$ / $\frac{d x}{d t}$

Q. y $\left.\frac{y=\cos \theta}{x=a \sin \theta}\right\}$ $\frac{d y}{d x}$ =?

পদ্ধতি-১:

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{d y}{d \theta}$ / $\frac{d x}{d \theta}$

= $\frac{d^{\operatorname{acos} \theta}}{d \theta}$ / $\frac{d^{\operatorname{asin} \theta}}{d \theta}$

= $-\operatorname{asin} \theta$ / $a \cos \theta$

=- $\tan \theta$

(Ans)

পদ্ধতি-2:

$y$ = $\operatorname{acos} \theta$ ;∴ $\cos \theta$ =ya $\frac{y}{a}$

$x$ = $\operatorname{asin} \theta$ ;∴ $\sin \theta$ = $\frac{x}{a}$

∴ $\cos ^{2} \theta$ + $\sin ^{2} \theta$ =1

⟹ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ =1

⟹ $x^2$ + $y^{2}$ = $a^{2}$

⟹ $x^2$ + $y^{2}$ – $a^{2}$ =0

⟹ $\frac{d^{x^{2}}}{d x}$ + $\frac{d^{y^{2}}}{d x}$ – $\frac{d^{a^{2}}}{d x}$ =0

⟹ $2x$ + $2 y$ . $\frac{d^{y}}{d x}$ =0

⟹ $\frac{d}{d x}^{y}$ =- $\frac{2 x}{2 y}$

=- $\frac{\operatorname{asin} \theta}{\operatorname{acos} \theta}$ =- $\tan \theta$

(Ans)

Q. $\left.\frac{x=a t^{2}}{y=2 a t}\right\} \frac{d y}{d x}$ =?

পদ্ধতি-১:

$\frac{d}{d x}^{y}$ = $\frac{d}{d t}^{y}$ / $\frac{d}{d t}^{x}$

= $\frac{d^{2 a t}}{d t}$ / $\frac{d^{a t^{2}}}{d t}$

= $2a$ / $2at$ = $\frac{1}{t}$

(Ans)

পদ্ধতি-2:

$y$ = $2at$

⟹ $t$ = $\frac{y}{2 a}$

∴ $x$ = $a$ $\left(\frac{y}{2 a}\right)^{2}$

⟹ $x$ – $\frac{y^{2}}{4 a}$ =0

⟹- $\frac{2 y}{4 a}$ . $\frac{d y}{d x}$ =0

⟹ $\frac{y}{2 a}$ . $\frac{d y}{d x}$ =0

⟹ $\frac{y}{2 a}$ $\frac{d y}{d x}$ =0

⟹ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{2 a}{y}$

= $\frac{2 a}{2 a t}$ = $\frac{1}{t}$

(Ans)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics