লিমিটের মান নির্ণয় ও ফাংশনের অবিচ্ছিন্নতা (Determining the value of the limit and Continuity of function)

লিমিট কাকে বলে?

কোনো একটি ফাংশনের চলক যখন কোনো নির্দিষ্ট মানের কাছে অগ্রসর হয়, তখন ফাংশনের মান কোনো নির্দিষ্ট মানের কাছে অগ্রসর হলে সেই নির্দিষ্ট মানকেই আমরা ফাংশনের সেই বিন্দুতে লিমিট বলি।

লিমিটের মান নির্ণয় (Determining the value of the limit)

Type-01 : লিমিটের অস্তিতশীলতা কেন্দ্রিক

⟹Concept : কোন বিন্দুতে লিমিট অস্তিত্তশীল হবে যদি ঐ বিন্দুতে Left Hand Limit (LHL) = Right Hand Limit (RHL) হয়। অর্থাৎ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}}$ $f(x)$ = $\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}}$ $f(x)$

Example-01: $\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=$ ?

\operatorname{Sol}^{n}:

Right hand limit $=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{h}{\sqrt{2} \sin \frac{h}{2}}[$ Let, $\mathrm{x}=0=\mathrm{h}]=\sqrt{2}$

Left hand limit $=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{0-h}{\sqrt{1-\cosh }}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{-h}{\sqrt{2} \sin \frac{h}{2}}=-\sqrt{2}$

$\because \mathrm{RHL} \neq \mathrm{LHL}$

$\therefore$ লিমিটের মান অস্তিত্তশীল নয়।

Example-02: $=\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{|x|}-1}{x} ?$

\operatorname{Sol}^{n}:

L. H. L. $\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{|x|}-1}{x}=-1 ;$

R.H.L. $\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{|x|}-1}{x}=1$

$\because \mathrm{LHL} \neq \mathrm{RHL}$

$\therefore$ limit অস্তিত্তশীল নয়। (Ans)

Type-02 : হরে বর্গমূল সংবলিত পদটি অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করে লিমিট নির্ণয়

⟹ Concept: (i) $\frac{0}{0} \text { form }$ (ii) বীজগাণিতিক function (iii) লব বা হর উভয়টিতে $\text { S } \quad \text { rt }(\sqrt{ })$ থাকবে ।

নিয়মঃ অনুবন্ধীকরন করে এমন বানাতে হবে যেন limit বসানো যায়।

Example-08:সীমাস্থ মান নির্ণয় কর : $\frac{L t}{x \rightarrow 0}$ $\frac{2\left(b-\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.}{x^{2}}$

$\operatorname{Sol}^n$ :

$\frac{L t}{x \rightarrow 0}$ $\frac{2\left(b-\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.}{x^{2}}$ == $\frac{L t}{x \rightarrow 0}$ $\frac{2\left(b^{2}-b^{2}-x^{2}\right)}{x^{2}\left(b+\sqrt{\left.b^{2}+x^{2}\right)}\right.}$ = $\frac{-2}{\left(b+\sqrt{\left.b^{2}+0\right)}\right.}$ = $-\frac{1}{b}$

Example-09: $\frac{L t}{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sqrt{1-4 x}-\sqrt{1-5 x}}{x}$ = $\frac{L t}{x \rightarrow 0}$ $\frac{x}{x(\sqrt{1-4 x}+(\sqrt{1-5 x}))}$ = $\frac{1}{2}$ (Ans.)

[ হর ও লবকে ( $\sqrt{1-4 x}$ + $(\sqrt{1-5 x})$ )দ্বারা গুণ করে ]

⟹ Limit Transfer :

Q. $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}$ $\frac{1-\sin x}{\cos x}$

ধরি, $x=\frac{\pi}{2}+R$ ; $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ হলে $h \rightarrow 0$ হবে।

এখন,

$\frac{\lim }{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}$ $\frac{1-\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1-\sin x}{h \rightarrow 0} \frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}+h\right)}$

$=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}$ $\frac{1-\cos h}{-\sin h}$

$=\frac{-\lim }{h \rightarrow 0}$ $\frac{2 \sin ^{2} \frac{h}{2}}{\sin h}$

= $\frac{-\lim }{h \rightarrow 0}$ $\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^{2}$ x $\frac{h^{2}}{4}$ x $\frac{\lim }{h \rightarrow 0}$ $\frac{h}{\sin h}$ x $\frac{2}{h}$

=1-x \frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{4} \times \frac{2}{h}=0

$\frac{\lim }{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}$ $\frac{1-\sin x}{\cos x}$ (Ans)

Q. $\frac{\lim }{x \rightarrow \infty} 2^{x} \sin \frac{b}{2^{x}}$

⟹ ধরি, $\frac{b}{2^{x}}=\theta$

$\Rightarrow \frac{b}{\theta}=2^{x}$

এখন,

$x \rightarrow \alpha$ হলে $2^{x} \rightarrow \alpha \therefore \frac{b}{2^{x}} \rightarrow 0$

\begin{array}{l} \therefore \theta \rightarrow 0 \\ \therefore \frac{\lim }{x \rightarrow \infty} 2^{x} \sin \frac{b}{2^{x}}=\frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \frac{b}{\theta} \cdot \sin \theta \\ =\frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\lim }{\theta \rightarrow 0} \theta \times \mathrm{b} / \theta=6 \\ \text { (Ans) } \end{array}

ফাংশনের অবিচ্ছিন্নতা (Continuity of function)

লিমিট কাকে বলে

⟹ কোনো ফাংশনের লেখচিত্রে কথাও ছেদ ক বিচ্ছিন্নতা না থাকলে ফাংশনটিকে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন বলা হয়। অর্থাৎ $x=a$ বিন্ধুতে $f(x)$ ফাংশ্নকে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি $\frac{\lim }{x \rightarrow a}$ $f(x)$ বিদ্যমান থাকে এবং তা সসীম ও $f(a)$ এর মান হয়।

∴ ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হবে যখন $\frac{\lim }{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow a^{-}} f(x)$

Q. $f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x+3 ;-\frac{3}{2} \leq x<0 \\ -2 x+3 ; 0 \leq x<\frac{3}{2} \\ -2 x-3 ; x \geq \frac{3}{2} \end{array}\right.$

$x$ বিন্দুতে $f(x)$ এর অবিচ্ছিন্নতা যাচাই কর।

⟹ $x=0$ বিন্দুতে –

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}}-2 x+3=3

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} 2 x+3=3

∴ $\therefore \frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$

$x=0$ বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন। (Ans)

Example-04: $f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x+3 ;-\frac{3}{2} \leq x<0 \\ -2 x+3 ; 0 \leq x<\frac{3}{2} \\ -2 x-3 ; x \geq \frac{3}{2} \end{array}\right.$ বিন্দুতে ফাংশানটির বিচ্ছিন্নতা, অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর।

$\operatorname{Sol}^n$ :

$x=0$ বিন্দুতে –

f(0)=0

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(0-h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(0-h)=0

\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(0+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(0+h)=0

যেহেতু $f(0)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{\lim }{x \rightarrow 0^{-}} \mathrm{f}(\mathrm{x})$

সুতরাং, $x=0$ বিন্দুতে ফাংশানটি অবিচ্ছিন্ন।

$x=1$ বিন্দুতে –

$f(0)=1$

$\frac{\lim }{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(1-h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}(1-h)=1$

$\frac{\lim }{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(1+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}\{2-(1+h)\}=1$

∵ $f(0)=1$ =L.H.L=R.H.L

∴ ফাংশানটি $x=1$ বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

$x=2$ বিন্দুতে –

$f(2)=2-2=0$

\frac{\lim }{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(2+h)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0}[2-(2-h)]=0

\frac{\lim }{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} f(2+h)=2

$\because f(2)=\frac{\lim }{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \neq \frac{\lim }{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$

∴ $x=2$ বিন্দুতে ফাংশানটি অবিচ্ছিন্ন।

∗ গ্রাফ আঁকতে পারলে আরও সহজে বুঝা যায় উপরিউক্ত ফাংশনের গ্রাফঃ

লিমিট কাকে বলে

∗ স্ট্যান্ডউইচ/স্কুইজ/পিনচিং উপপাদ্য (Sandwich / Squeeze / Pinching Theorem) :

জামাল কামাল অপেক্ষায় বেশি খায়, এবং দামাল অপেক্ষায় কিম খায়। কোনো একদিন কামাল $=2kg$ এবং দামাল $=2kg$ খায়। তবে কামাল কতটুকু খায়?

⟹ কামাল ${K(x)}$ <জামাল ${J(x)}$ < দামাল ${D(x)}$

⟹ $K(x)<J(x)<D(x)$

⟹ $2<J(x)<2$

∴ $J(x)=2$

যেমন-

$1<\frac{\lim _{x \rightarrow 0}}{x} \frac{\sin x}{x}<1$

∴ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$

\text { Q. } \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}=?

⟹ আমরা জানি,

⟹ $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$

⟹ $-x^{2} \leq x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$

⟹ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}-x^{2} \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2}$

0 \leq \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x} \leq 0

$\therefore \frac{\lim }{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \frac{1}{x}=0$ (Ans)

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics