লিমিটের সূত্র (Limit formula)

অন্তরীকরণ সূত্র: লিমিট (Limit formula)

যেন তেন প্রকারেন ( যেকোনো উপায় ) অসং জ্ঞায়িত অবস্থায় দূর করতে হবে।

প্রয়োজনীয় কিছু ধারা (Some necessary sections)

$(1+x)^{n}$ = $1+n x+\frac{n(n-1)}{2 !} \mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(n-2)}{3 !} x^{3}+-------$
$e^{x}$ = $1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+$
$\ln (1+x)$ = $x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+------$
$\ln (1-x)$ = $-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-------$
$e^{-x}$ = $1-x+\frac{x^{2}}{2 !}-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\text { - - - - - - - }$
$a^{x}$ = $1+x \ln a+\frac{x^{2}}{2 !}(\ln a)^{2}+\frac{x^{3}}{3 !}(\ln a)^{3}+----------$
$a^{-x}$ = $1-x \ln a+\frac{x^{2}}{2 !}(\ln a)^{2}-\frac{x^{3}}{3 !}(\ln a)^{3}+-------$

বিশেষ কিছু ফাংশনের সীমা নির্ণয় (Determining the limits of certain functions) :

\text { 1. } \frac{\operatorname{tin}_{i i}}{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1

প্রমানঃ $e^{x}$ = $1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+-------$

$\therefore \frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$ = $\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left\{\left(1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+----\right)-1\right\}$

$=\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left\{x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{2 !}+---\right\}$

$=\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot x\left\{1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+---\right\}$

$=1$ [Proved]

$\text { 2. } \frac{\lim }{x \rightarrow \mathbb{0}} \frac{\sin x}{x}=1$

প্রমানঃ

অন্তরীকরণ সূত্র
এখানে-

APB চাপ

OP ব্যাসার্ধ

A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক OP এর বর্ধিতাংশকে c বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

<P0A= $x$ রেডিয়ান

এখন-

জ্যা AB < চাপ APB < AC + BC

⟹2AD < 2 চাপ AP < 2AC

⟹AD < চাপ AP <AC

⟹ $\frac{A D}{O A}$ < $\frac{\text {চাপ } A P}{O A}$ < $\frac{A C}{O A}$

⟹ $\sin x$ < $x$ < $tan x--------1$

⟹1< $\frac{x}{\sin x}$ < $\frac{1}{\cos x}$

⟹ $\cos x$ < $\frac{\sin x}{x}$ <1

$x \rightarrow 0$ হলে, $\cos x \rightarrow 1$

⟹ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\cos x$ < $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ <1

⟹1< $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ <1

∴ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ =1

[Proved]

3. $\frac{\ln _{\text {iii }}}{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tar} x}{x}=1$

প্রমানঃ

(1) হতে পাই –

$\sin x$ < $x$ < $\tan x$

⟹ $\cos x$ < $\frac{x}{\tan x}$ < 1

⟹ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\cos x$ < $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{x}{\tan x}$ <1

⟹1< $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{x}{\tan x}$ <1

∴ $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{x}{\tan x}$ =1

[Proved]

4. $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$ =1

প্রমানঃ

$\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$ = $\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}$ $\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+----\right)$

= $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{1}{x}$ . $x$ $\left(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+-----\right)$

=1

[Proved]

5. $\frac{\lim }{x \rightarrow 0}$ $\frac{{x^{n}-a^{n}}}{x-a}$ = $n a^{n}-1$

প্রমানঃ

ধরি, $x=a+h ; h \rightarrow 0$ যখন $x \rightarrow a$

\frac{\lim }{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{(a+h)^{\mathrm{n}}-a^{\mathrm{n}}}{a+h-a}

\begin{array}{l} =\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{(\mathrm{a}+\mathrm{h})^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{h}} \\ =\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{a^{n}\left(1+\frac{h}{a}\right)^{n}-a^{n}\right\} \\ =\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{a^{n}}{h}\left\{\left(1+\frac{h}{a}\right)^{n}-1\right\} \\ =\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{a^{n}}{h}\left\{1+\frac{n h}{a}+\frac{n(n-1)}{2 !} \frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \frac{h^{3}}{a^{3}}+-----1\right\} \\ =\frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{a^{n}}{h} \cdot \frac{n h}{a}\left\{1+\frac{(n-1)}{2 !} \frac{h}{a}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \frac{h^{2}}{a^{2}}+---\right\} \\ =\frac{n a^{n}}{a}=n a^{n-1} \end{array}

[Proved]

⟹ একনজরে সব সূত্রঃ

$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{n}-1}{x}=n$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=n a^{n-1}$
$\frac{\lim }{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
$\frac{\lim }{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics