বৃত্ত (The circle)
সভ্যতার প্রবাহে চাকার আবিষ্কার একটি বিপ্লবের সূচনা করে। যা সভ্যতার বিকাশকে দ্রুত ত্বরান্বিত করে। বিজ্ঞানের আবিষ্কার থেকে সর্বোচ্চ সুবিধা গ্রহণের জন্য চাই সম্যক জ্ঞান। তাই চাকার বৈশিষ্ট্য জানতে বৃত্ত সম্পর্কে বিশদ জ্ঞান থাকা আবশ্যক। গোলাকার বস্তু মাত্রই বৃত্ত নয়। বৃত্তের বৈশিষ্ট্য হলো সমতলে নির্দিষ্ট পরিসীমার মধ্যে বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ক্ষেত্রফল। এটি তখনই সম্ভব যখন কোনো বস্তু একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে সমদূরত্বে চারিদিকে সমান ভাবে বিরাজ করে। স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, জ্যোতির্বিদ্যায়, ক্যালকুলাসের উচ্চতর শাখাগুলিতে বৃত্তের অধ্যয়ন খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
নাম : প্লেটো (Plato)
জন্ম : ৪২৮ খ্রিষ্টপূর্ব
জন্মস্থান : এথেন্স, গ্রিক
অবদান : গণিত, দর্শন, প্লেটোনীয় বাস্তবদান রিপাবলিক
পরিচিতি : অলঙ্কারশাস্ত্র, শিল্পকলা, সাহিত্য, জ্ঞানতত্ত্ব, বিচার, রাজনীতি, শিক্ষা
মৃত্যু : ৩৪৮ খ্রিষ্টপূর্ব
বিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক প্লেটো (Plato, 428BC-348BC) তৎকালীন সময়ে জ্ঞান বিজ্ঞানের প্রায় সকল শাখায় অবাধ বিচরণ করেছিলেন। জ্যামিতিতে তাঁর অবদান উল্লেখ করার মতো। তিনি প্রথম বৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং সঠিকভাবে বৃত্তকে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে সক্ষম হয়েছিলেন। তিনি অন্যান্য জ্যামিতিক চিত্রের অঙ্কনের সাথে বৃত্ত অঙ্কনের বৈসাদৃশ্যগুলোও বিবৃত করেন।
১৭০০ খৃষ্টপূর্বে রাইন্ড প্যাপিরাস (The Rhind Mathematical Papyrus) বইয়ে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি লিপিবদ্ধ হয়। ৩০০ খৃষ্টপূর্বে ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্ট গ্রন্থের তৃতীয় খন্ডে বৃত্তের বৈশিষ্ট্যসমূহ নিয়ে আলোচনা করেন। বৃত্ত (Circle) শব্দটি গ্রিক ‘Kirkos’ থেকে এসেছে।
গ্রীক শব্দ Kirkos শব্দ থেকে বৃত্ত (Circle) শব্দটি নেওয়া হয়েছে যার অর্থ আংটা। গাড়ির চাকা, চন্দ্র, সূর্য, গাছের কান্ডের প্রস্থচ্ছেদ প্রভৃতি বস্তু বৃত্তাকার দেখায়। জ্যামিতি, জ্যোতির্বিদ্যা,ক্যালকুলাস, কম্পিউটার গ্রাফিক্স ডিজাইন ইত্যাদিতে বৃত্ত ব্যবহার হয়ে থাকে।
সংজ্ঞা: একটি স্থির বিন্দু হতে যেসব বিন্দুর দূরত্ব সমান তাদের সেটকে একটি বৃত্ত বলে। স্থির বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র এবং স্থির দূরত্বকে ইহার ব্যাসার্ধ বলে।
মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (Equation of circle with center at the origin)
মনে করি, বৃত্তের ওপর P(x,y) যে কোনো একটি বিন্দু। P থেকে OX এর ওপর PM লম্ব অঙ্কন করি এবং O,P যোগ করি। তাহলে, OM=x, PM=y। এখন কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ a হলে O(0,0) এবং OP=a। \Delta OPM হতে, OM^2+PM^2=OP^2 অর্থাৎ, x^2+y^2=a^2 এই সম্পর্কটি বৃত্তের ওপরস্থ যে কোনো বিন্দুর জন্যই প্রযোজ্য। সুতরাং, এটাই বৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
- x ও y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
- x^2 ও y^2 এর সহগ পরস্পর সমান।
- x, y ও xy সম্বলিত কোনো পদ নেই।
x^2+y^2=4, 2x^2+2y^2+5, (x-0)^2+(y-0)^2=a^2, a \geq 0 ইত্যাদি মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত অঙ্কন ও অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
x^2+y^2=r^2 একটি বৃত্তের সমীকরণ; যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ r।
সুতরাং কার্তেসীয় সমতলে মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে r একক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে x^2+y^2=r^2 সমীকরণ বিশিষ্ট বৃত্তের লেখচিত্র পাওয়া যাবে। বৃত্তটি অক্ষদ্বয়কে চারটি বিন্দুতে ছেদ করে।
বৃত্তটি দ্বারা x– অক্ষের ছেদবিন্দুতে y=0
সুতরাং, x^2=r^2 বা, x=\pm r
আবার, বৃত্তটি দ্বারা y– অক্ষের ছেদবিন্দুতে x=0
সুতরাং, y^2=r^2 বা, y=\pm r
সুতরাং, x^2+y^2=r^2 বৃত্ত x– অক্ষকে (r,0), (-r,0) এবং y অক্ষকে (0,r), (0,-r) বিন্দুতে ছেদ করে। [উপরের চিত্র দ্রষ্টব্য]
r=1 হলে বৃত্তটিকে একক বৃত্ত (Unit Circle) বলে। একক বৃত্ত অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে (\pm 1,0), ও(0, \pm 1) বিন্দুতে ছেদ করে।
