পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ (Equation of circle in polar coordinates)

কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু P এর কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x, y) ও (r, \theta) হলে x=r\cos \theta, y=r \sin \theta \; এবং\; x^2+y^2=r^2।

আবার, C(h, k) কোনো বৃত্তের কেন্দ্র, a ব্যাসার্ধ এবং P(x, y) বৃত্তটির উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলে উক্ত বৃত্তের সমীকরণ,  

(x-h)^2+(y-k)^2=a^2......(i)

(h, k) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক (r_0, \phi) হলে, h=r_0 \cos \phi, k=r_0 \sin \theta 

(i) নং সমীকরণ হতে পাই, 

(r \cos \theta-r_0 \cos \theta)^2+(r \sin \theta-r_0 \sin \phi)^2=a^2\\ r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)-2rr_0 (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)+r_0^2(\cos^2 \phi +\sin^2 \phi)=a^2\\ r^2-2rr_0\cos \theta-\phi+r_0^2=a^2 [\because \cos \theta \cos \phi+\sin \theta \sin \phi=\cos \theta-\phi]

∴পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ, r^2-2rr_0\cos(\theta-\phi)+r_0^2=a^2......(ii) 

যেখানে, a হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ, (r,\theta) বৃত্তের উপর যে কোনো সাধারণ বিন্দু পোলার স্থানাঙ্ক এবং (r_0,\phi) হলো বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক।

আবার, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের জন্য (ii) নং হতে পাই, r^2-2r(r_0\cos \theta \cos \phi+r_0 \sin \theta \sin \phi)+r_0^2-a^2=0\\ r^2+2r{(-r_0 \cos \phi)\cos \theta+(-r_0 \sin \phi)\sin \theta}+r_0^2-a^2=0\\ r^2+2r(g \cos \theta+f \sin \theta)+c=0......(iii) 

যেখানে, g=-r_0 \cos \phi, f=-r_0 \sin \phi, c=r_0^2-a^2

(iii) নং হলো পোলার স্থানাঙ্কের বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।

এখন, g^2+f^2=r_0^2(\cos^2 \phi+\sin^2 \phi)=r_0^2 \therefore r_0=\sqrt{g^2+f^2} এবং \frac{f}{g}=\frac{-r_0 \sin \phi}{-r_0 \cos \phi}=\tan \phi \therefore \phi=\tan^{-1}\Big(\frac{f}{g}\Big)

∴ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, (r, \phi)=\Big(\sqrt{g^2+f^2},\tan^{-1}\Big(\frac{f}{g}\Big)\Big) এবং ব্যাসার্ধ a=\sqrt{r_0^2-c}=\sqrt{g^2+f^2-c }

বিশেষ অবস্থা:

• পোল বা মেরুবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে, r_0=a

       ∴ বৃত্তের সমীকরণ: r^2-2ra\cos(\theta-\phi)+a^2=a^2\\ \Rightarrow r^2=2ra\cos(\theta-\phi)\\ \Rightarrow r=2a\cos(\theta-\phi)

• পোল বা মেরুবিন্দুতে বৃত্তের কেন্দ্র অবস্থিত হলে, r_0=0

        ∴ বৃত্তের সমীকরণ: r^2=a^2\; বা,\; r=a

• বৃত্তের কেন্দ্র x-অক্ষের ধনাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (r_0, 0) এবং ঋণাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (r_0, \pi) সেক্ষেত্রে বৃত্তের সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে, 

r^2-2rr_0\cos \theta+r_0^2=a^2\\ এবং\; r^2-2rr_0 \cos⁡(\theta-\pi)+r_0^2=a^2\\ বা,\; r^2+2rr_0 \cos \theta+r_0^2=a^2 

অর্থাৎ x-অক্ষে কেন্দ্র ও a একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ, r^2 \pm 2rr_0 \cos \theta +r_0^2=a^2

আবার, x-অক্ষের উপর কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে অর্থাৎ পোলগামী হলে, r_0=a তখন r^2\pm 2ra\cos \theta=0 

\therefore r=2a\cos \theta \; অথবা \; r=-2a\cos \theta

অর্থাৎ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র x-এর ওপর অর্থাৎ বৃত্তটি মেরুবিন্দুগামী বা পোলগামী হলে তার পোলার সমীকরণ, r=\pm 2a\cos \theta 

• বৃত্তের কেন্দ্র y-অক্ষের ধনাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (r_0, \frac{\pi}{2} ) এবং ঋণাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক (r_0, -\frac{\pi}{2} ) সেক্ষেত্রে বৃত্তের সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে r^2-2rr_0 \cos(\theta-\frac{\pi}{2})+r_0^2=a^2\\ এবং\; r^2-2rr_0 \cos (\theta+ \frac{\pi}{2})+r_0^2=a^2  

অর্থাৎ y-অক্ষের উপর কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক (r_0, \pm \frac{\pi}{2}) ও a একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ, 

r^2\pm 2rr_0 \sin \theta+r_0^2=a^2\\ \because \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin \theta\; এবং\; cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta 

আবার y-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে অর্থাৎ পোলগামী হলে r_0=a তখন r^2 \pm 2ra\sin \theta=0\\ \therefore r= \pm 2a \sin \theta 

অর্থাৎ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র y-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি পোলগামী হলে তার পোলার সমীকরণ r=\pm 2a \sin \theta