নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (Equation of a circle with fixed center and radius)
নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (Equation of a circle with fixed center and radius)
কেন্দ্র (h,k) এবং a ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
মনে করি, বৃত্তের ওপর P(x,y) যে কোনো বিন্দু এবং C(h,k) বৃত্তটির কেন্দ্র। এখন PM \perp OX, CN \perp OX, CQ \perp PM অঙ্কন করি এবং C,P যোগ করি।
তাহলে, OM=x, PM=y, ON=h, CN=k
\therefore CQ=NM=OM-ON=x-h এবং PQ=PM-QM=PM-CN=y-k
\Delta CPQ হতে পাই, CQ^2+PQ^2=CP^2 [∵∆CPQ সমকোণী ত্রিভুজ]
অর্থাৎ (x-h)^2+(y-k)^2=a^2 [∵CP=a, ত্রিভুজের ব্যাসার্ধ]
এই সম্পর্কটি বৃত্তের ওপরস্থ যে কোনো বিন্দুর জন্য প্রযোজ্য। সুতরাং এটাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ (General equation of a circle):
(a,b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 কে নিম্নরূপে লেখা যায়:
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0
বা, x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0
এখন, (a,b) নির্দিষ্ট বিন্দু ও r নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ বলে a, b ও r এবং a^2+b^2-r^2 ধ্রুবক।
ধরি, -a=g, -b=f বা, (a,b)=(-g,-f) এবং a^2+b^2-r^2=c
বা, (-g)^2+(-f)^2-r^2=c [\because -a=g, -b=f]
বা, (-g)^2+(-f)^2-c=r^2
বা, r=\sqrt{g^2+f^2-c}
সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণটি হলো, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0
যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-g,-f)=\Big(\frac{x এর\; সহগ}{-2}, \frac{y এর\; সহগ}{-2}\Big)
এবং ব্যাসার্ধ =\sqrt{g^2+f^2-c}; যখন g^2+f^2-c \geq 0
একে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ বলে।
অনুসিদ্ধান্ত: A \neq 0 হলে Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0 আকারের সমীকরণ হয় একটি বৃত্ত নির্দেশ করে অথবা এর কোনো লেখচিত্র নেই। একেও বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ বলা হয়।
ব্যাখ্যা: Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0 সমীকরণ হতে পাই,
বা, A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0
বা, x^2+y^2+\frac{D}{A}x+\frac{E}{A}y+\frac{F}{A}=0
বা, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 আকারের বলে একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যখন g^2+f^2-c \geq 0 হয়।
যদি g^2+f^2-c < 0 হয়, তবে x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 সমীকরণটি কোনো বাস্তব সঞ্চারপথ নির্দেশ করে না এবং সমীকরণটির কোনো লেখচিত্র অঙ্কন করা যায় না।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ-এর বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:
- এটি দুই চালকের দ্বিঘাত সমীকরণ (x^2, y^2 সম্বলিত)
- xy সম্বলিত পদ নাই, অর্থাৎ xy এর সহগ=0
- x^2 এর সহগ = y^2 এর সহগ
বি:দ্র:
- g^2+f^2-c=0 বা, ব্যাসার্ধ শূন্য হলে বৃত্তটি একটি বিন্দু সর্বস্ব হয়। এরূপ বৃত্তকে বিন্দুবৃত্ত বলে।
- x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটি মূলবিন্দু (0, 0) দিয়ে যাবে যদি এবং কেবল যদি c=0 হয়। অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, x^2+y^2+2gx+2fy=0
- c\leq 0 হলে, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 সমীকরণটি সর্বদাই একটি বৃত্তের সমীকরণ সূচিত করে। কিন্তু c>0 হলে, বৃত্তের সমীকরণ নাও হতে পারে।
- x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটির কেন্দ্র (-g, -f) x-অক্ষের উপর অবস্থিত হলে, f=0 বা, y এর সহগ =0 এবং y অক্ষের উপর অবস্থিত হলে, g=0 বা, x-এর সহগ =0।
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্যাবলি (Features of the circle equation):
- সমীকরণটি x ও y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
- সমীকরণে x^2 ও y^2 এর সহগ সমান।
- xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
দ্রষ্টব্য:
- g=0 হলে, কেন্দ্রের ভুজ শূন্য হবে, অর্থাৎ কেন্দ্র y-অক্ষের ওপর অবস্থিত হবে।
- f=0 হলে, কেন্দ্রের কোটি শূন্য হবে, অর্থাৎ কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত হবে।
- c=0 হলে, সমীকরণটি মূলবিন্দু (0,0) দ্বারা সিদ্ধ হবে, অর্থাৎ বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যাবে।
- যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের কোটির পরমমান অর্থাৎ, \sqrt{g^2+f^2-c}=|f| হয়, তবে বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করবে। সেক্ষেত্রে g^2=c
- যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের ভুজের পরমমান অর্থাৎ, \sqrt{g^2+f^2-c}=|g| হয়, তবে বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করবে। সেক্ষেত্রে f^2=c
- বৃত্তটি উভয়পক্ষকে স্পর্শ করলে g^2=f^2=c।
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে বৃত্তের সমীকরণ (Equation of the circle along the vertex of the diameter at two fixed points):
মনে করি, সমতলে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু A(x_1,y_1) ও B(x_2,y_2) এবং ABকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তটির উপর P(x,y) যে কোনো একটি বিন্দু। যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ, তাই P বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থান করবে যদি এবং কেবল যদি \angle APB =1 সমকোণ হয়।
সুতরাং AP \perp BP
x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\\ \sqrt{g^2+f^2-c}=|g|\\ \angle APB =1\\ \Rightarrow AP-এর\; ঢাল \times BP-এর\; ঢাল =-1\\ \Rightarrow \frac{y-y_1}{x-x_1}\times \frac{y-y2}{x-x_2}=-1\\ \Rightarrow (y-y_1)(y-y_2)=-(x-x_1)(x-x_2)\\ \therefore (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\therefore (x_1,y_1) ও (x_2,y_2) বিন্দুদ্বয়কে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ: (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0
একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
মনে করি, বৃত্তটির সমীকরণ x^2+y^2+2gx+2fy+c=0......(i) এবং সরলরেখাটির সমীকরণ lx+my+n=0......(ii)
k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (k\neq 0) হলে, (i)+k(ii) হতে পাই,
x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(lx+my+n)=0......(iii)
\Rightarrow x^2+y^2+(2g+kl)x+(2f+km)y+c+kn=0; যা একটি বৃত্তের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, বৃত্ত +k(সরলরেখা) =0
অনুরূপভাবে, দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ,
প্রথম বৃত্ত +k(দ্বিতীয় বৃত্ত) =0; k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (k\neq 0)
\therefore f(x,y)=0 বৃত্ত ও g(x,y)=0 সরলরেখার (অথবা, f(x,y)=0 ও g(x,y)=0 বৃত্তদ্বয়ের) ছেদবিন্দু এবং (\alpha, \beta) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ \frac{f(x,y)}{f(\alpha, \beta)}=\frac{g(x,y)}{a(\alpha, \beta)}, f(\alpha, \beta)\neq 0, g(\alpha, \beta)\neq 0