দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক (Common Tangent of Two Circles)
দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক (Common Tangent of Two Circles)
যদি একটি সরলরেখা দুইটি বৃত্তকে স্পর্শ করে তবে, রেখাটিকে বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শক বলা হয়। সাধারণ স্পর্শক দুই ধরনের হতে পারে। যথা-
- সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct common tangent)
- তীর্যক সাধারণ স্পর্শক (Transverse common tangent)
যে সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শ বিন্দুদ্বয় বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত তাকে সরল সাধারণ স্পর্শক এবং যে সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শ বিন্দুদ্বয় কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত তাকে তীর্যক সাধারণ স্পর্শক বলা হয়।
- মনে করি, সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র যথাক্রমে C_1 ও C_2 এবং ব্যাসার্ধ r_1 ও r_2; কেন্দ্র C_1 ও C_2 হতে সাধারণ স্পর্শকের ওপর C_1T_1 এবং C_2T_2 লম্ব অঙ্কন করা হলে, \Delta PC_1T_1 এবং \Delta PC_2T_2 সদৃশ।
\therefore P বিন্দুটি C_1C_2 রেখাংশকে r_1:r_2 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
- মনে করি, C_1 ও C_2 এবং r_1 ও r_2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট পরস্পরচ্ছেদী নয় এমন দুটি বৃত্তের তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয় পরস্পর P ছেদ করেছে। কেন্দ্র C_1 ও C_2 হতে সাধারণ স্পর্শকের ওপর C_1T_1 এবং C_2T_2 লম্ব অঙ্কন করা হলে, \Delta PC_1T_1 এবং \Delta PC_2T_2 সদৃশ।
\therefore P বিন্দুটি C_1C_2 রেখাংশকে r_1:r_2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখন সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য অনুপাতের সূত্র প্রয়োগ করে উভয় ক্ষেত্রেই P বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাবে। তাহলে বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু P হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সাধারণ সমীকরণ নির্ণয় করা যাবে।
দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা:
দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক কয়টি হবে, তা বৃত্ত দুটি পরস্পর অন্তঃস্থ বা বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে অথবা ছেদ করে অথবা স্পর্শ না করে তার উপর নির্ভর করে। যেমন : দুটি বৃত্ত পরস্পর-
- অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে সাধারণ স্পর্শক ১ টি
- বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে সাধারণ স্পর্শক ৩ টি
- ছেদ করলে সাধারণ স্পর্শক ২ টি
- স্পর্শ না করলে সাধারণ স্পর্শক ৪ টি
x^2+y^2=a^2 বৃত্ত দ্বারা y=mx+c সরলরেখা হতে খন্ডিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
মনে করি, AB খন্ডিত জ্যা এবং A ও B এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x_1,y_1) ও (x_2,y_2); তাহলে, A ও B এর ভুজদ্বয় (1+m^2)x^2+2mcx+c^2-a^2=0 সমীকরণের মূল হতে পাওয়া যাবে।
ধরি, A ও B এর ভুজদ্বয় যথাক্রমে x_1 ও x_2;
তাহলে, x_1+x_2=-\frac{2mc}{1+m^2} এবং x_1x_2=\frac{c^2-a^2}{1+m^2}
\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\\ =\frac{4m^2c^2}{(1+m^2)^2}-\frac{4(c^2-a^2)}{1+m^2}\\ =\frac{4{a^2(1+m)^2-c^2}}{(1+m^2)^2}
এখানে, AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\\ =(x_1-x_2)^2+(mx_1+c-mx_2-c)^2\\ =(x_1-x_2)^2+m^2(x_1-x_2)^2\\ =(1+m^2)(x_1-x_2)^2\\ =(1+m^2)\times 4\frac{\{a^2(1+m)^2-c^2\}}{(1+m^2)^2}\\ =4\Big(a^2-\frac{c^2}{1+m^2}\Big)
∴ নির্ণেয় খন্ডিত জ্যা- এর দৈর্ঘ্য, AB=2\sqrt{\Big(a^2-\frac{c^2}{1+m^2}\Big)}\\ =2\{(ব্যাসার্ধ)^2-(কেন্দ্র\; হতে\; জ্যা\; এর\; লম্ব\; দূরত্ব)^2\}^{\frac{1}{2}}
অনুরূপভাবে x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্ত দ্বারা কোনো সরলরেখা হতে খন্ডিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।
বৃত্তের কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু (x_1,y_1) হলে উক্ত জ্যা এর সমীকরণ T=S_1:
মনে করি, বৃত্তের সমীকরণ x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 । বৃত্তটির কেন্দ্র O(-g, -f) এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু P এর স্থানাঙ্ক (x_1,y_1)। এখানে, OP\perp AB
\therefore P বিন্দুগামী OP রেখার উপর লম্ব AB জ্যা এর সমীকরণ,
y-y_1=\frac{x_1+g}{y_1+f}(x-x_1)\\ \Rightarrow yy_1-y_1^2+fy-fy_1=-xx_1+x_1^2-gx+gx_1\\ \Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c\therefore x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তের কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু (x_1,y_1) হলে জ্যাটির সমীকরণ, xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c
সংক্ষিপ্ত আকারে লেখা যায়, T=S_1
বি.দ্র.:
- সূত্রটি পরাবৃত্ত, অধিবৃত্ত, উপবৃত্ত এর জন্য প্রযোজ্য।
- d=OP= কেন্দ্র হতে জ্যা এর লম্ব দূরত্ব এবং l=জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলে, AP^2=OA^2-OP^2\\ \Rightarrow (l/2)^2=r^2-d^2 \Rightarrow l=2\sqrt{r^2-d^2}