দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ (Intersection of two circle intersecting points)

দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ (Intersection of two circle intersecting points)

আগের অনুচ্ছেদের মতো যুক্তি প্রদর্শন করে দেখানো যায় যে, k যে  কোনো একটি ধ্রুবক হলে, A_1x^2+A_1y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 ও A_2x^2+A_2y^2+D_2x+E_2y+F2=0 বৃত্ত দুইটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, A_1x^22+A_1y^2+D_1x+E_1y+F_1+k(A_2x^2+A_2y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0 

অর্থাৎ, প্রথম বৃত্ত +k(দ্বিতীয় বৃত্ত) =0

এ, আর, খলিফা (আজিজুর রহমান খলিফা) এর নিয়মানুসারে যে কোনো  দুইটি বিন্দু (x_1, y_1) ও (x_2,y_2) দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। 

(x_1, y_1) ও (x_2,y_2) বিন্দুদ্বয়কে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে বৃত্তের সমীকরণ, (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0......(i) 

আবার, (x_1, y_1) ও (x_2,y_2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, \Rightarrow (x-x_1)(y_1-y_2)-(y-y_1)(x_1-x_2)=0......(ii) 

∴(i) বৃত্ত এবং (ii) সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+k{(x-x_1)(y_1-y_2)-(y-y_1)(x_1-x_2)}=0

x^2+y^2+2gx+2fy+c=0......(1), (g^2>c,f^2>c) এবং (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.....(2),(r^2>h^2,r^2>k^2) বৃত্ত দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশের পরিমাণ:

(1) বৃত্তটি x-অক্ষকে অর্থাৎ, y=0 রেখাকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার ভুজ x^2+2gx+c=0......(3) নং সমীকরণ হতে পাওয়া যায়। বৃত্তটি x-অক্ষকে A(x_1, 0) ও B(x_2,0) বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ, (2) এর মূল দুইটি x_1 ও x_2 হলে x_1+x_2=-2g এবং x_1x_2=c 

∴ বৃত্তটি দ্বারা x-অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ =AB=OB-OA

\Rightarrow x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4g^2-4c} 

\Rightarrow 2\sqrt{g^2-c}=2\sqrt{h^2-(h^2+k^2-r^2)}=2\sqrt{r^2-k^2} 

অনুরূপভাবে, y-অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ =2\sqrt{f^2-c}=2\sqrt{r^2-h^2}

বি:দ্র: 

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2......(1),  x^2+y^2+2gx+2fy+c=0......(2)

1. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয় মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে, r^2=h^2+k^2, c=0 (চিত্র- ১)। মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণকে লিখা যায়, x^2+y^2+2gx+2fy=0,  x^2+y^2-2hx-2ky=0
2. (1) বৃত্তটি X-অক্ষকে স্পর্শ করলে, ব্যাসার্ধ, r=|কেন্দ্রের কোটি|, ফলে বৃত্তটির সমীকরণ (x-h)^2+(y-k)^2=k^2; (2) বৃত্তটি অক্ষকে স্পর্শ করলে, 2\sqrt{g^2-c}=0\Rightarrow g^2=c। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h,0) বা, (-g,0) (চিত্র-২)
3. (1) বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, ব্যাসার্ধ, r=|কেন্দ্রের ভুজ|, ফলে বৃত্তটির সমীকরণ (x-h)^2+(y-h)^2=h^2; (2) বৃত্তটি অক্ষকে স্পর্শ করলে, 2\sqrt{f^2-c}=0\Rightarrow f^2=c। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,k) বা, (0,-f) (চিত্র-৩) 
4. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয় উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে, r=|h|=|k| এবং g^2=f^2=c (চিত্র-৪)। এক্ষেত্রে কেন্দ্র হবে (\pm h, \pm h)
5. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র x-অক্ষের উপর অবস্থিত হলে, k=0,f=0, ফলে বৃত্তদ্বয়ের  সমীকরণ হবে (x-h)^2+y^2=r^2, x^2+y^2+2gx+c=0 (চিত্র-৫)
6. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র y-অক্ষের উপর অবস্থিত হলে, h=0, g=0, ফলে বৃত্তদ্বয়ের  সমীকরণ হবে x^2+(y-k)^2=r^2, x^2+y^2+2fy+c=0 (চিত্র-৬)
7. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয় y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করলে, কেন্দ্র x-অক্ষের উপর অবস্থিত হবে এবং ফলে k=0 এবং r=h, f^2=c=0 (চিত্র-৮) 
8. (1) ও (2) বৃত্তদ্বয় x-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করলে, কেন্দ্র y-অক্ষের উপর অবস্থিত হবে এবং ফলে h=0 এবং r=k, g^2=c=0 (চিত্র-৭) 

বৃত্তের সম্পর্কে বিন্দুর অবস্থান:

O(-g,-f) কেন্দ্র এবং r=\sqrt{g^2+f^2-c} ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 এবং প্রদত্ত বিন্দু P(x_1, y_1)।

\therefore OP^2=(x_1+g)^2+(y_1+f)^2\\ \Rightarrow OP^2=x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+g^2+f^2\\ \Rightarrow OP^2-r^2=x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+g^2+f^2-(g^2+f^2-c)\\ \Rightarrow OP2^-r^2=x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c 

P বিন্দুটি বৃত্তটির বাইরে অবস্থান করলে, 

OP>r\Rightarrow OP^2-r^2>0\Rightarrow x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c>0 

P বিন্দুটি বৃত্তটির উপরে অবস্থান করলে, 

OP=r\Rightarrow OP^2-r^2=0\Rightarrow x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c=0

P বিন্দুটি বৃত্তটির ভিতরে অবস্থান করলে, 

OP<r\Rightarrow OP^2-r^2<0\Rightarrow x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c<0 

\therefore (x_1,y_1) বিন্দুটি x^2+y^2+2gx_1+2fy_1+c=0 বৃত্তের বাইরে, উপরে বা ভিতরে অবস্থান করবে যদি যথাক্রমে x^2+y^2+2gx_1+2fy_1+c>,= বা, <0 হয়।

দুইটি বৃত্তের পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে সর্বোচ্চ দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। ছেদবিন্দু দুইটি সমাপতিত হলে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করেছে বলা হয়। 

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে অথবা অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করতে পারে। 

A ও B কেন্দ্র এবং r_1 ও r_2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে-

1. বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি এবং কেবল যদি AB=r_1+r_2 এবং
2. অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি এবং কেবল যদি AB=r_1\sim r_2 হয়।