পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ (Equation of circle in polar coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে কাকে বলে?

পোলার স্থানাঙ্ক হল একটি গাণিতিক পদ্ধতি যার মাধ্যমে আমরা কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করতে পারি। এটি মূলত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (যাকে মূলবিন্দু বা পোল বলা হয়) থেকে সেই বিন্দুর দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা (যাকে আদিরেখা বা পোলার অক্ষ বলা হয়) থেকে কোণ দিয়ে নির্ধারিত হয়।

পোলার স্থানাঙ্ক

কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু P এর কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(x, y)$ ও $(r, \theta)$ হলে $x=r\cos \theta, y=r \sin \theta \; এবং\; x^2+y^2=r^2$ ।

আবার, $C(h, k)$ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র, $a$ ব্যাসার্ধ এবং $P(x, y)$ বৃত্তটির উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলে উক্ত বৃত্তের সমীকরণ,

(x-h)^2+(y-k)^2=a^2......(i)

$(h, k)$ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক $(r_0, \phi)$ হলে, $h=r_0 \cos \phi, k=r_0 \sin \theta$

$(i)$ নং সমীকরণ হতে পাই,

(r \cos \theta-r_0 \cos \theta)^2+(r \sin \theta-r_0 \sin \phi)^2=a^2\\ r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)-2rr_0 (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)+r_0^2(\cos^2 \phi +\sin^2 \phi)=a^2\\ r^2-2rr_0\cos \theta-\phi+r_0^2=a^2 [\because \cos \theta \cos \phi+\sin \theta \sin \phi=\cos \theta-\phi]

∴পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ, $r^2-2rr_0\cos(\theta-\phi)+r_0^2=a^2......(ii)$

যেখানে, $a$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $(r,\theta)$ বৃত্তের উপর যে কোনো সাধারণ বিন্দু পোলার স্থানাঙ্ক এবং $(r_0,\phi)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক।

আবার, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের জন্য $(ii)$ নং হতে পাই, $r^2-2r(r_0\cos \theta \cos \phi+r_0 \sin \theta \sin \phi)+r_0^2-a^2=0\\ r^2+2r{(-r_0 \cos \phi)\cos \theta+(-r_0 \sin \phi)\sin \theta}+r_0^2-a^2=0\\ r^2+2r(g \cos \theta+f \sin \theta)+c=0......(iii)$

যেখানে, $g=-r_0 \cos \phi, f=-r_0 \sin \phi, c=r_0^2-a^2$

$(iii)$ নং হলো পোলার স্থানাঙ্কের বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।

এখন, $g^2+f^2=r_0^2(\cos^2 \phi+\sin^2 \phi)=r_0^2 \therefore r_0=\sqrt{g^2+f^2} এবং \frac{f}{g}=\frac{-r_0 \sin \phi}{-r_0 \cos \phi}=\tan \phi \therefore \phi=\tan^{-1}\Big(\frac{f}{g}\Big)$

∴ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, $(r, \phi)=\Big(\sqrt{g^2+f^2},\tan^{-1}\Big(\frac{f}{g}\Big)\Big)$ এবং ব্যাসার্ধ $a=\sqrt{r_0^2-c}=\sqrt{g^2+f^2-c }$

বিশেষ অবস্থা:

পোল বা মেরুবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে, $r_0=a$

∴ বৃত্তের সমীকরণ: $r^2-2ra\cos(\theta-\phi)+a^2=a^2\\ \Rightarrow r^2=2ra\cos(\theta-\phi)\\ \Rightarrow r=2a\cos(\theta-\phi)$

পোল বা মেরুবিন্দুতে বৃত্তের কেন্দ্র অবস্থিত হলে, $r_0=0$

∴ বৃত্তের সমীকরণ: $r^2=a^2\; বা,\; r=a$

বৃত্তের কেন্দ্র $x$ -অক্ষের ধনাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে $(r_0, 0)$ এবং ঋণাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে $(r_0, \pi)$ সেক্ষেত্রে বৃত্তের সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে,

r^2-2rr_0\cos \theta+r_0^2=a^2\\ এবং\; r^2-2rr_0 \cos⁡(\theta-\pi)+r_0^2=a^2\\ বা,\; r^2+2rr_0 \cos \theta+r_0^2=a^2

অর্থাৎ $x$ -অক্ষে কেন্দ্র ও $a$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ, $r^2 \pm 2rr_0 \cos \theta +r_0^2=a^2$

আবার, $x$ -অক্ষের উপর কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে অর্থাৎ পোলগামী হলে, $r_0=a$ তখন $r^2\pm 2ra\cos \theta=0$

\therefore r=2a\cos \theta \; অথবা \; r=-2a\cos \theta

অর্থাৎ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র $x$ -এর ওপর অর্থাৎ বৃত্তটি মেরুবিন্দুগামী বা পোলগামী হলে তার পোলার সমীকরণ, $r=\pm 2a\cos \theta$

বৃত্তের কেন্দ্র y-অক্ষের ধনাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক হবে $(r_0, \frac{\pi}{2} )$ এবং ঋণাত্মক অংশে থাকলে এর পোলার স্থানাঙ্ক $(r_0, -\frac{\pi}{2} )$ সেক্ষেত্রে বৃত্তের সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে $r^2-2rr_0 \cos(\theta-\frac{\pi}{2})+r_0^2=a^2\\ এবং\; r^2-2rr_0 \cos (\theta+ \frac{\pi}{2})+r_0^2=a^2$

অর্থাৎ $y$ -অক্ষের উপর কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক $(r_0, \pm \frac{\pi}{2})$ ও $a$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ,

$r^2\pm 2rr_0 \sin \theta+r_0^2=a^2\\ \because \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin \theta\; এবং\; cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta$

আবার $y$ -অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে অর্থাৎ পোলগামী হলে $r_0=a$ তখন $r^2 \pm 2ra\sin \theta=0\\ \therefore r= \pm 2a \sin \theta$

অর্থাৎ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র $y$ -অক্ষের উপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি পোলগামী হলে তার পোলার সমীকরণ $r=\pm 2a \sin \theta$

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ (Equation of circle in polar coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে কাকে বলে?

Other Topics