10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (Equation of a circle with fixed center and radius) 

নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (Equation of a circle with fixed center and radius) 

বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ কাকে বলে?

বৃত্তের কেন্দ্র হল সেই নির্দিষ্ট বিন্দু যা বৃত্তের সকল বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত যে রেখাংশ, তাকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

কেন্দ্র (h,k) এবং a ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:

মনে করি,  বৃত্তের ওপর P(x,y) যে কোনো বিন্দু এবং C(h,k) বৃত্তটির কেন্দ্র। এখন PM \perp OX, CN \perp OX, CQ \perp PM অঙ্কন করি এবং C,P যোগ করি।

ব্যাসার্ধ কাকে বলে

তাহলে, OM=x, PM=y, ON=h, CN=k

\therefore CQ=NM=OM-ON=x-h এবং PQ=PM-QM=PM-CN=y-k

\Delta CPQ হতে পাই, CQ^2+PQ^2=CP^2 [∵∆CPQ সমকোণী ত্রিভুজ]  

অর্থাৎ (x-h)^2+(y-k)^2=a^2 [∵CP=a, ত্রিভুজের ব্যাসার্ধ]

এই সম্পর্কটি বৃত্তের ওপরস্থ যে কোনো বিন্দুর জন্য প্রযোজ্য। সুতরাং এটাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ (General equation of a circle):

(a,b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ  

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 কে নিম্নরূপে লেখা যায়:

x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0 

বা, x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0

এখন, (a,b) নির্দিষ্ট বিন্দু  ও r নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ বলে a, b ও r এবং a^2+b^2-r^2 ধ্রুবক। 

ধরি, -a=g, -b=f বা, (a,b)=(-g,-f) এবং  a^2+b^2-r^2=c 

বা, (-g)^2+(-f)^2-r^2=c [\because -a=g, -b=f]

বা, (-g)^2+(-f)^2-c=r^2

বা, r=\sqrt{g^2+f^2-c}

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণটি হলো, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0

যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-g,-f)=\Big(\frac{x এর\; সহগ}{-2}, \frac{y এর\; সহগ}{-2}\Big)

এবং ব্যাসার্ধ =\sqrt{g^2+f^2-c}; যখন g^2+f^2-c \geq 0 

একে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ বলে।

অনুসিদ্ধান্ত: A \neq 0 হলে Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0 আকারের সমীকরণ হয়  একটি বৃত্ত নির্দেশ করে অথবা এর কোনো লেখচিত্র নেই। একেও বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ বলা হয়।

ব্যাখ্যা: Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0 সমীকরণ হতে পাই, 

বা, A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0

বা, x^2+y^2+\frac{D}{A}x+\frac{E}{A}y+\frac{F}{A}=0

বা, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 আকারের বলে একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যখন g^2+f^2-c \geq 0 হয়।

যদি g^2+f^2-c < 0 হয়, তবে x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 সমীকরণটি কোনো বাস্তব সঞ্চারপথ নির্দেশ করে না এবং সমীকরণটির কোনো লেখচিত্র অঙ্কন করা যায় না।

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ-এর বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:

  1.  এটি দুই চালকের দ্বিঘাত সমীকরণ (x^2, y^2 সম্বলিত)
  2. xy সম্বলিত পদ নাই, অর্থাৎ xy এর সহগ=0
  3.  x^2 এর সহগ = y^2 এর সহগ

বি:দ্র:

  1. g^2+f^2-c=0 বা, ব্যাসার্ধ শূন্য হলে বৃত্তটি একটি বিন্দু সর্বস্ব হয়। এরূপ বৃত্তকে বিন্দুবৃত্ত বলে।
  2. x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটি মূলবিন্দু (0, 0) দিয়ে যাবে যদি এবং কেবল যদি c=0 হয়। অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, x^2+y^2+2gx+2fy=0
  3. c\leq 0 হলে, x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 সমীকরণটি সর্বদাই একটি বৃত্তের সমীকরণ সূচিত করে। কিন্তু c>0 হলে, বৃত্তের সমীকরণ নাও হতে পারে।
  4. x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটির কেন্দ্র (-g, -f) x-অক্ষের  উপর অবস্থিত হলে, f=0 বা, y এর সহগ =0 এবং y অক্ষের উপর অবস্থিত হলে, g=0 বা, x-এর সহগ =0।

 

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্যাবলি (Features of the circle equation):

  1. সমীকরণটি x ও y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। 
  2.  সমীকরণে x^2 ও y^2 এর সহগ সমান।
  3. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।

 

দ্রষ্টব্য:

  1. g=0 হলে, কেন্দ্রের ভুজ শূন্য হবে, অর্থাৎ কেন্দ্র y-অক্ষের ওপর অবস্থিত হবে।
  2. f=0 হলে,  কেন্দ্রের কোটি শূন্য হবে, অর্থাৎ কেন্দ্র x-অক্ষের   ওপর অবস্থিত হবে। 
  3. c=0 হলে, সমীকরণটি মূলবিন্দু (0,0) দ্বারা সিদ্ধ হবে, অর্থাৎ বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যাবে।
  4.  যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের কোটির পরমমান অর্থাৎ, \sqrt{g^2+f^2-c}=|f| হয়, তবে বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করবে। সেক্ষেত্রে g^2=c
  5. যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের ভুজের পরমমান অর্থাৎ, \sqrt{g^2+f^2-c}=|g| হয়, তবে বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করবে। সেক্ষেত্রে f^2=c
  6. বৃত্তটি উভয়পক্ষকে স্পর্শ করলে g^2=f^2=c।

 

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে বৃত্তের সমীকরণ (Equation of the circle along the vertex of the diameter at two fixed points):

মনে করি, সমতলে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু A(x_1,y_1) ও B(x_2,y_2) এবং ABকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তটির উপর P(x,y) যে কোনো একটি বিন্দু। যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ, তাই P বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থান করবে যদি এবং কেবল যদি \angle APB =1 সমকোণ হয়। 

ব্যাসার্ধ কাকে বলে

সুতরাং AP \perp BP

x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\\ \sqrt{g^2+f^2-c}=|g|\\ \angle APB =1\\ \Rightarrow AP-এর\; ঢাল \times BP-এর\; ঢাল =-1\\ \Rightarrow \frac{y-y_1}{x-x_1}\times \frac{y-y2}{x-x_2}=-1\\ \Rightarrow (y-y_1)(y-y_2)=-(x-x_1)(x-x_2)\\ \therefore (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0 

\therefore (x_1,y_1) ও (x_2,y_2) বিন্দুদ্বয়কে  ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ: (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। 

ব্যাসার্ধ কাকে বলে

মনে করি, বৃত্তটির সমীকরণ x^2+y^2+2gx+2fy+c=0......(i) এবং সরলরেখাটির সমীকরণ lx+my+n=0......(ii)

k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (k\neq 0) হলে, (i)+k(ii) হতে পাই, 

x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(lx+my+n)=0......(iii) 

\Rightarrow x^2+y^2+(2g+kl)x+(2f+km)y+c+kn=0; যা একটি বৃত্তের সকল শর্ত সিদ্ধ করে। 

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, বৃত্ত +k(সরলরেখা) =0

অনুরূপভাবে, দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ,

প্রথম বৃত্ত +k(দ্বিতীয় বৃত্ত) =0; k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (k\neq 0)

দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ

\therefore f(x,y)=0 বৃত্ত ও g(x,y)=0 সরলরেখার (অথবা, f(x,y)=0 ও g(x,y)=0 বৃত্তদ্বয়ের) ছেদবিন্দু এবং (\alpha, \beta) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ \frac{f(x,y)}{f(\alpha, \beta)}=\frac{g(x,y)}{a(\alpha, \beta)}, f(\alpha, \beta)\neq 0, g(\alpha, \beta)\neq 0

 

 

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics